Calcule, pela definição, as derivadas das seguintes funções no ponto
indicado:
e
arbitrario
Passo 1
Então, a gente tem uma função
e queremos encontrar a derivada dessa função em um ponto qualquer
. Isso significa que vamos calcular a taxa de variação de
no ponto
usando a definição de derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
no ponto
é o limite da razão entre a variação da função e a variação da variável, quando essa variação tende a zero. Matemáticamente, isso é escrito como:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Primeiro, precisamos calcular
:
Passo 4
Em seguida, calculamos a diferença
:
Passo 5
Vamos expandir o termo
usando a fórmula do binômio de Newton:
Passo 6
Substituindo de volta na diferença:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos isso na definição da derivada:
Passo 8
Podemos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por
:
Passo 9
Agora, avaliamos o limite quando
tende a zero:
Resposta
A derivada da função
no ponto
é: