Calcule, pela definição, as derivadas das seguintes funções no ponto x_0 indicado:
f(x) = (x - 2) ^ 3 e x_0 arbitrario

Passo 1

Então, a gente tem uma função e queremos encontrar a derivada dessa função em um ponto qualquer . Isso significa que vamos calcular a taxa de variação de no ponto usando a definição de derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função no ponto é o limite da razão entre a variação da função e a variação da variável, quando essa variação tende a zero. Matemáticamente, isso é escrito como:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Primeiro, precisamos calcular :

Passo 4

Em seguida, calculamos a diferença :

Passo 5

Vamos expandir o termo usando a fórmula do binômio de Newton:

Passo 6

Substituindo de volta na diferença:
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos isso na definição da derivada:

Passo 8

Podemos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por :

Passo 9

Agora, avaliamos o limite quando tende a zero:

Resposta

A derivada da função no ponto é:

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