Sejam f, g: R R e a in R um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma f(x)+g(x) no ponto x0 :
(f+g)^prime(x0)=f^prime(x0)+g^prime(x0)
(b) Derivada da função a f(x) :
(a f)^prime(x0)=a f^prime(x0)
© Derivada do produto f(x) g(x) no ponto x0 :
(f g)^prime(x0)=f(x0) g^prime(x0)+f^prime(x0) g(x0)
(d) Derivada do quociente f(x) / g(x) no ponto x0 :
(f / g)^prime(x0)=g(x0) f^prime(x0)-f(x0) g^prime(x0)g(x0)^2
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se f(x)=sen(x), temos f^prime(x0)=cos (x0);
(b) se f(x)=cos (x), temos f^prime(x0)=-sen(x0);
© se f(x)=tg(x) (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
f(x)=(3 x^5-x)(x^6+x^2-1)

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a derivada da função . Isso envolve usar algumas regras de derivação, especificamente a regra do produto, que é usada quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar identificar as duas partes da função e aplicar essa regra para achar a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada uma dessas funções separadamente. Vamos começar com .
A derivada de é calculada termo a termo:
  • A derivada de é (usando a regra da potência: )
  • A derivada de é
Então, .

Passo 4

Agora, vamos derivar :
  • A derivada de é
  • A derivada de é
  • A derivada de é 0 (porque a derivada de uma constante é zero)
Então, .

Passo 5

Com as derivadas de (f cdot g)' = f' cdot g + f cdot g' e f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) em mãos, vamos aplicar a regra do produto que diz:
f'(x) = (15x^4 - 1)(x^6 + x^2 - 1) + (3x^5 - x)(6x^5 + 2x)
Aplicando isso à nossa função:
15x^4 cdot x^6 = 15x^10
Substituindo os valores que já calculamos:
15x^4 cdot x^2 = 15x^6
Agora, podemos simplificar isso multiplicando os termos:
Primeiro, multiplicando 15x^4 cdot (-1) = -15x^4 :
-1 cdot x^6 = -x^6
-1 cdot x^2 = -x^2
-1 cdot (-1) = 1
15x^10 + 15x^6 -15x^4 -x^6 -x^2 + 1 = 15x^10 + 14x^6 -15x^4 -x^2 + 1
3x^5 cdot 6x^5 = 18x^10
3x^5 cdot 2x = 6x^6
Então, essa parte fica:
-x cdot 6x^5 = -6x^6
Agora, multiplicando -x cdot 2x = -2x^2 :
18x^10 + 6x^6 -6x^6 -2x^2 = 18x^10 -2x^2
Então, essa parte fica:

Resposta

Agora, somando as duas partes:
f'(x) = (15x^10 + 14x^6 -15x^4 -x^2 + 1) + (18x^10 -2x^2) = 33x^10 + 14x^6 -15x^4 -3x^2 + 1
Então, a derivada de f'(x) = 33x^10 + 14x^6 -15x^4 -3x^2 + 1 é:

Exercícios relacionados