Calcule os limites abaixo e decida se as respetivas funções possuem assíntotas horizontais.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função quando vai para o infinito. Esse tipo de limite ajuda a determinar o comportamento da função para valores muito grandes de . Além disso, vamos verificar se essa função tem uma assíntota horizontal, que é uma linha reta que a função se aproxima à medida que cresce sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Quando tende para o infinito, os termos de maior grau (neste caso, os que têm ) dominam o comportamento da função. Para simplificar o limite, podemos dividir todos os termos do numerador e do denominador por :

Passo 3

Agora, observamos que tende a zero quando tende para o infinito. Então, podemos substituir esses termos por zero na expressão simplificada:

Resposta

O limite da função quando tende para o infinito é igual a 1. Portanto, a função possui uma assíntota horizontal na linha .

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Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos , e onde é um ponto onde não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador ou ou do grau do denominador.
(a função não é definida em ; então calcule também o limite .)
Calcule os limites abaixo e decida se as respetivas funções possuem assíntotas horizontais.
Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função nos pontos e .
Calcule, pela definição, as derivadas das seguintes funções no ponto indicado:
e arbitrario