Calcule os limites abaixo e decida se as respetivas funções possuem assíntotas horizontais.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função
quando
vai para o infinito. Esse tipo de limite ajuda a determinar o comportamento da função para valores muito grandes de
. Além disso, vamos verificar se essa função tem uma assíntota horizontal, que é uma linha reta que a função se aproxima à medida que
cresce sem parar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Quando
tende para o infinito, os termos de maior grau (neste caso, os que têm
) dominam o comportamento da função. Para simplificar o limite, podemos dividir todos os termos do numerador e do denominador por
:
Passo 3
Agora, observamos que
tende a zero quando
tende para o infinito. Então, podemos substituir esses termos por zero na expressão simplificada:
Resposta
O limite da função
quando
tende para o infinito é igual a 1. Portanto, a função possui uma assíntota horizontal na linha
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos
, e
onde
é um ponto onde
não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador
ou
ou
do grau do denominador.
(a função não é definida em
; então calcule também o limite
.)
Calcule os limites abaixo e decida se as respetivas funções possuem assíntotas horizontais.
Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função
nos pontos
e
.
Calcule, pela definição, as derivadas das seguintes funções no ponto
indicado:
e
arbitrario