Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos
, e
onde
é um ponto onde
não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador
ou
ou
do grau do denominador.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular os limites da função
quando
se aproxima de
e de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites no infinito e analisar os graus dos polinômios no numerador e no denominador.
Passo 2
Vamos começar analisando o limite quando
tende a
. Quando
fica muito grande, os termos de maior grau dominam o comportamento da função. No numerador, o termo de maior grau é
e no denominador é
.
Passo 3
Para calcular o limite, vamos dividir cada termo pelo termo de maior grau do denominador, que é
:
Passo 4
Simplificando cada fração:
Agora, vamos analisar o que acontece quando
tende a
. Os termos
,
,
e
tendem a 0 porque à medida que
cresce, essas frações ficam cada vez menores.
Passo 5
Substituindo esses limites:
Portanto, o limite quando
tende a
é 0.
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a
. O processo é similar ao anterior, mas precisamos considerar que
está se tornando muito grande em valor negativo.
Passo 7
Usamos a mesma divisão pelo termo de maior grau do denominador:
Novamente, os termos
,
,
e
tendem a 0 à medida que
tende a
.
Passo 8
Substituindo esses limites:
Portanto, o limite quando
tende a
também é 0.
Resposta
Ambos os limites são iguais a 0:
Exercícios relacionados
Sejam
e
um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto
:
(a) Derivada da soma
(b) Derivada da função
:
© Derivada do produto
no ponto
:
(d) Derivada do quociente
no ponto
:
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos
;
(b) se , temos
;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
(a) se
(b) se
© se
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Calcule, pela definição, as derivadas das seguintes funções no ponto
indicado:
e
arbitrario
Determine se a função
dada por:
é derivável no ponto
.
Sejam
e
um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto
:
(a) Derivada da soma
(b) Derivada da função
:
© Derivada do produto
no ponto
:
(d) Derivada do quociente
no ponto
:
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos
;
(b) se , temos
;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
num ponto arbitrário
(a) se
(b) se
© se
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…