Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos , e onde é um ponto onde não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador ou ou do grau do denominador.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular os limites da função quando se aproxima de e de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites no infinito e analisar os graus dos polinômios no numerador e no denominador.

Passo 2

Vamos começar analisando o limite quando tende a . Quando fica muito grande, os termos de maior grau dominam o comportamento da função. No numerador, o termo de maior grau é e no denominador é .

Passo 3

Para calcular o limite, vamos dividir cada termo pelo termo de maior grau do denominador, que é :

Passo 4

Simplificando cada fração:
Agora, vamos analisar o que acontece quando tende a . Os termos , , e tendem a 0 porque à medida que cresce, essas frações ficam cada vez menores.

Passo 5

Substituindo esses limites:
Portanto, o limite quando tende a é 0.

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando tende a . O processo é similar ao anterior, mas precisamos considerar que está se tornando muito grande em valor negativo.

Passo 7

Usamos a mesma divisão pelo termo de maior grau do denominador:
Novamente, os termos , , e tendem a 0 à medida que tende a .

Passo 8

Substituindo esses limites:
Portanto, o limite quando tende a também é 0.

Resposta

Ambos os limites são iguais a 0:

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Sejam e um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto :
(b) Derivada da função :
© Derivada do produto no ponto :
(d) Derivada do quociente no ponto :
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos ;
(b) se , temos ;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
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Determine se a função dada por:
é derivável no ponto .
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(a) Derivada da soma no ponto :
(b) Derivada da função :
© Derivada do produto no ponto :
(d) Derivada do quociente no ponto :
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos ;
(b) se , temos ;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
num ponto arbitrário