Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos x infty, x -infty, e x a onde a é um ponto onde f(x) não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador < ou = ou > do grau do denominador.
lim x infty x^3-15 x^4-3 x+2, lim x -infty x^3-15 x^4-3 x+2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular os limites da função quando se aproxima de e de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites no infinito e analisar os graus dos polinômios no numerador e no denominador.

Passo 2

Vamos começar analisando o limite quando tende a . Quando fica muito grande, os termos de maior grau dominam o comportamento da função. No numerador, o termo de maior grau é e no denominador é .

Passo 3

Para calcular o limite, vamos dividir cada termo pelo termo de maior grau do denominador, que é limx to infty x^3-15x^4-3x+2 = limx to infty x^3x^4 - 1x^45x^4x^4 - 3xx^4 + 2x^4 :

Passo 4

Simplificando cada fração:
= limx to infty 1x - 1x^45 - 3x^3 + 2x^4
Agora, vamos analisar o que acontece quando tende a . Os termos , , e tendem a 0 porque à medida que cresce, essas frações ficam cada vez menores.

Passo 5

Substituindo esses limites:
= 0 - 05 - 0 + 0 = 05 = 0
Portanto, o limite quando tende a é 0.

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando tende a . O processo é similar ao anterior, mas precisamos considerar que está se tornando muito grande em valor negativo.

Passo 7

Usamos a mesma divisão pelo termo de maior grau do denominador:
limx to -infty x^3-15x^4-3x+2 = limx to -infty 1x - 1x^45 - 3x^3 + 2x^4
Novamente, os termos , , e tendem a 0 à medida que tende a .

Passo 8

Substituindo esses limites:
= 0 - 05 - 0 + 0 = 05 = 0
Portanto, o limite quando tende a também é 0.

Resposta

Ambos os limites são iguais a 0:
limx to infty x^3-15x^4-3x+2 = 0, limx to -infty x^3-15x^4-3x+2 = 0

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