Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função nos pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a equação da reta tangente ao gráfico da função nos pontos , e . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, mais especificamente o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação das retas tangentes em pontos específicos de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em qualquer ponto , ou seja, a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Para derivar :

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos calcular a inclinação da reta tangente em cada um dos pontos fornecidos.
Para o ponto :
Para o ponto :
Para o ponto :

Passo 4

Com as inclinações calculadas, agora vamos encontrar a equação da reta tangente para cada ponto. A fórmula geral da reta tangente em um ponto é:
onde é a inclinação da reta.
Para o ponto :
Para o ponto :
Para o ponto :
Essa última reta é horizontal, já que a inclinação é zero.

Resposta

As equações das retas tangentes são:

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo e decida se as respetivas funções possuem assíntotas horizontais.
Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos , e onde é um ponto onde não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador ou ou do grau do denominador.
(a função não é definida em ; então calcule também o limite .)
Calcule, pela definição, as derivadas das seguintes funções no ponto indicado:
e arbitrario
Sejam e um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto :
(b) Derivada da função :
© Derivada do produto no ponto :
(d) Derivada do quociente no ponto :
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos ;
(b) se , temos ;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…