Calcule o fluxo do campo vetorial
através da curva
, na direção da normal unitária exterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial específico através de uma curva definida. Aqui, o campo vetorial é
e a curva é um círculo unitário dado por para
. Vamos precisar usar Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Green para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada mede quanto do campo está “passando” pela curva. Matematicamente, é dado por:
Onde
é o vetor normal unitário à curva
e
é o elemento de arco.
Passo 3
Para facilitar nossos cálculos, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona o fluxo através da curva com uma integral dupla sobre a região
delimitada por
. O teorema diz:
Onde
e
são as componentes de
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
e
. Primeiro, identifiquemos:
Agora, calculamos
e
.
Passo 5
Calculando
:
De forma similar, calculamos
:
Passo 6
Agora, somamos essas derivadas parciais:
Passo 7
Agora, aplicamos o Teorema de Green:
Como estamos integrando sobre o círculo unitário
, e a expressão está em termos de
e
, é conveniente mudar para coordenadas polares.
Passo 8
Em coordenadas polares, temos
, , e
. Além disso,
. Substituindo na integral:
Passo 9
Vamos calcular a integral interna em
:
Passo 10
Observamos que a integral diverge para infinito. Isso indica que o fluxo é infinito. No contexto físico, isso pode significar que o campo vetorial tem uma singularidade dentro da região considerada, o que realmente acontece aqui quando
.
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da curva
na direção da normal unitária exterior é infinito.
Exercícios relacionados
Obtenha o plano tangente às superfícies nos pontos dados.
a) no ponto
.
b) no ponto
.
c) no ponto
.
d) no ponto
.
a)
b)
c)
d)
Obtenha uma parametrização para a superfície descrita dada pelo elipsoide
Obtenha uma parametrização para as superfícies dadas.
a) .
b) .
c) é a rotação em torno do eixo
do conjunto
.
d) é a rotação em torno do eixo
do conjunto
e
.
a)
b)
c)
d)
Calcule pela definição o fluxo do campo
, sobre a fronteira do setor do círculo de raio
contido no primeiro quadrante do plano cartesiano, na direção do vetor normal unitário exterior.