Calcule o fluxo do campo vetorial através da curva , na direção da normal unitária exterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial específico através de uma curva definida. Aqui, o campo vetorial é e a curva é um círculo unitário dado por para . Vamos precisar usar Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Green para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada mede quanto do campo está “passando” pela curva. Matematicamente, é dado por:
Onde é o vetor normal unitário à curva e é o elemento de arco.

Passo 3

Para facilitar nossos cálculos, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona o fluxo através da curva com uma integral dupla sobre a região delimitada por . O teorema diz:
Onde e são as componentes de .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de e . Primeiro, identifiquemos:
Agora, calculamos e .

Passo 5

Calculando :
De forma similar, calculamos :

Passo 6

Agora, somamos essas derivadas parciais:

Passo 7

Agora, aplicamos o Teorema de Green:
Como estamos integrando sobre o círculo unitário , e a expressão está em termos de e , é conveniente mudar para coordenadas polares.

Passo 8

Em coordenadas polares, temos , , e . Além disso, . Substituindo na integral:

Passo 9

Vamos calcular a integral interna em :

Passo 10

Observamos que a integral diverge para infinito. Isso indica que o fluxo é infinito. No contexto físico, isso pode significar que o campo vetorial tem uma singularidade dentro da região considerada, o que realmente acontece aqui quando .

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da curva na direção da normal unitária exterior é infinito.

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a) no ponto .
b) no ponto .
c) no ponto .
d) no ponto .
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Obtenha uma parametrização para as superfícies dadas.
a) .
b) .
c) é a rotação em torno do eixo do conjunto .
d) é a rotação em torno do eixo do conjunto e .
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