Determine a taxa de variação (derivada direcional) de
, no ponto
, na direção do vetor
.
Passo 1
Vamos lá! Temos que encontrar a taxa de variação, ou derivada direcional, da função
no ponto
na direção do vetor
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional e como calcular o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a
e
.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, precisamos normalizar o vetor
, ou seja, transformá-lo em um vetor unitário (com comprimento igual a 1). A fórmula para normalizar um vetor
é:
Primeiro, calculamos a magnitude de
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 4
A derivada direcional
é calculada pelo produto escalar entre o gradiente da função e o vetor unitário na direção desejada:
Passo 5
Agora, substituímos os valores do ponto
na expressão acima:
Primeiro, calculamos
:
Agora, substituímos na derivada direcional:
Resposta
A taxa de variação é
.
Exercícios relacionados
Determine a equação do plano tangente à superfície
Calcule
e
, se
é definida implicitamente pela equação seguinte:
Determine os extremantes locais da função
.
Calcule
e
, onde
e
.