Determine a taxa de variação (derivada direcional) de , no ponto , na direção do vetor .

Passo 1

Vamos lá! Temos que encontrar a taxa de variação, ou derivada direcional, da função no ponto na direção do vetor . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional e como calcular o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e .
Vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, precisamos normalizar o vetor , ou seja, transformá-lo em um vetor unitário (com comprimento igual a 1). A fórmula para normalizar um vetor é:
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 4

A derivada direcional é calculada pelo produto escalar entre o gradiente da função e o vetor unitário na direção desejada:

Passo 5

Agora, substituímos os valores do ponto na expressão acima:
Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos na derivada direcional:

Resposta

A taxa de variação é .

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Determine a equação do plano tangente à superfície
Calcule e , se é definida implicitamente pela equação seguinte:
Determine os extremantes locais da função .
Calcule e , onde e .