Calcule a densidade de probabilidade para a função de onda do estado de menor energia do oscilador harmônico simples do exercício 3, com função de onda:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de onda para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples:
O objetivo é calcular a densidade de probabilidade dessa função de onda. Para isso, vamos utilizar conceitos de mecânica quântica relacionados à probabilidade de encontrar uma partícula em uma determinada posição.

Passo 2

A densidade de probabilidade, geralmente denotada por , é dada pelo módulo ao quadrado da função de onda . Matemáticamente, isso é representado por:
Aqui, é o complexo conjugado de . O módulo ao quadrado garante que a densidade de probabilidade seja um valor real e não-negativo.

Passo 3

Vamos calcular o complexo conjugado de . Sabemos que:
O complexo conjugado de uma expressão do tipo é . Portanto:

Passo 4

Agora, multiplicamos pela sua conjugada :

Passo 5

Simplificando a expressão, multiplicamos os coeficientes e somamos os expoentes:
  • Coeficientes:
  • Expoentes do :
  • Expoentes do tempo:
Então, os termos que envolvem o tempo se cancelam.

Passo 6

Portanto, a densidade de probabilidade fica:

Resposta

A densidade de probabilidade é:

Exercícios relacionados

A função de onda de um elétron livre, ou seja, de um elétron que não está sujeito a uma força, é dada por , na qual está em metros. Determine (a) o momento do elétron; (b) a energia total do elétron; © o comprimento de onda do elétron.
Normalize a função de onda do exercício 3 , determinando qual o valor da constante arbitrária nesta função de onda que faz com que a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer ponto do eixo seja um.
A função de onda para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples, constituído de uma partícula de massa sob ação de uma força restauradora linear cuja constante é , pode ser expressa como:
onde a constante real pode ter qualquer valor. Verifique que essa expressão é uma solução para a equação de Schrödinger com o potencial apropriado. (O termo dependente do tempo é uma exponencial complexa)
(a) Mostre que a função de onda não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. (b) Mostre que satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.