Calcule a densidade de probabilidade para a função de onda do estado de menor energia do oscilador harmônico simples do exercício 3, com função de onda:
Psi(x, t)=A e^-(raizC m / 2 h) x^2 e^-(i / 2) raizC / m t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de onda para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples:
Psi(x, t) = A e^-(raizC m2 hbar) x^2 e^-(i2) raizCm t
O objetivo é calcular a densidade de probabilidade dessa função de onda. Para isso, vamos utilizar conceitos de mecânica quântica relacionados à probabilidade de encontrar uma partícula em uma determinada posição.

Passo 2

A densidade de probabilidade, geralmente denotada por rho(x, t), é dada pelo módulo ao quadrado da função de onda Psi(x, t). Matemáticamente, isso é representado por:
rho(x, t) = |Psi(x, t)|^2 = Psi(x, t) Psi^*(x, t)
Aqui, Psi^*(x, t) é o complexo conjugado de Psi(x, t). O módulo ao quadrado garante que a densidade de probabilidade seja um valor real e não-negativo.

Passo 3

Vamos calcular o complexo conjugado de Psi(x, t). Sabemos que:
Psi(x, t) = A e^-(raizC m2 hbar) x^2 e^-(i2) raizCm t
O complexo conjugado de uma expressão do tipo e^itheta é e^-itheta. Portanto:
Psi^*(x, t) = A e^-(raizC m2 hbar) x^2 e^(i2) raizCm t

Passo 4

Agora, multiplicamos Psi(x, t) pela sua conjugada Psi^*(x, t):
|Psi(x, t)|^2 = Psi(x, t) Psi^*(x, t) = [A e^-(raizC m2 hbar) x^2 e^-(i2) raizCm t] [A e^-(raizC m2 hbar) x^2 e^(i2) raizCm t]

Passo 5

Simplificando a expressão, multiplicamos os coeficientes e somamos os expoentes:
  • Coeficientes: A times A = A^2
  • Expoentes do x^2: - (raizC m2 hbar) x^2 + (- (raizC m2 hbar) x^2) = - (raizC mhbar) x^2
  • Expoentes do tempo: - (i2) raizCm t + (i2) raizCm t = 0
Então, os termos que envolvem o tempo se cancelam.

Passo 6

Portanto, a densidade de probabilidade fica:
|Psi(x, t)|^2 = A^2 e^-(raizC mhbar) x^2

Resposta

A densidade de probabilidade é:
|Psi(x, t)|^2 = A^2 e^-(raizC mhbar) x^2

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