Calcule a densidade de probabilidade para a função de onda do estado de menor energia do oscilador harmônico simples do exercício 3, com função de onda:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de onda para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples:
O objetivo é calcular a densidade de probabilidade dessa função de onda. Para isso, vamos utilizar conceitos de mecânica quântica relacionados à probabilidade de encontrar uma partícula em uma determinada posição.
Passo 2
A densidade de probabilidade, geralmente denotada por
, é dada pelo módulo ao quadrado da função de onda
. Matemáticamente, isso é representado por:
Aqui,
é o complexo conjugado de
. O módulo ao quadrado garante que a densidade de probabilidade seja um valor real e não-negativo.
Passo 3
Vamos calcular o complexo conjugado de
. Sabemos que:
O complexo conjugado de uma expressão do tipo
é
. Portanto:
Passo 4
Agora, multiplicamos
pela sua conjugada
:
Passo 5
Simplificando a expressão, multiplicamos os coeficientes e somamos os expoentes:
- Coeficientes:
- Expoentes do
: - Expoentes do tempo:
Então, os termos que envolvem o tempo se cancelam.
Passo 6
Portanto, a densidade de probabilidade fica:
Resposta
A densidade de probabilidade é:
Exercícios relacionados
A função de onda de um elétron livre, ou seja, de um elétron que não está sujeito a uma força, é dada por
, na qual
está em metros. Determine (a) o momento do elétron; (b) a energia total do elétron; © o comprimento de onda do elétron.
Normalize a função de onda do exercício 3 , determinando qual o valor da constante arbitrária
nesta função de onda que faz com que a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer ponto do eixo seja um.
A função de onda
para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples, constituído de uma partícula de massa
sob ação de uma força restauradora linear cuja constante é
, pode ser expressa como:
onde a constante real
pode ter qualquer valor. Verifique que essa expressão é uma solução para a equação de Schrödinger com o potencial apropriado. (O termo dependente do tempo é uma exponencial complexa)
(a) Mostre que a função de onda
não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. (b) Mostre que
satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.