A função de onda Psi(x, t) para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples, constituído de uma partícula de massa m sob ação de uma força restauradora linear cuja constante é C, pode ser expressa como:
Psi(x, t)=A e^-(raizC m / 2 h) x^2 e^-(i / 2) raizC / m t
onde a constante real A pode ter qualquer valor. Verifique que essa expressão é uma solução para a equação de Schrödinger com o potencial apropriado. (O termo dependente do tempo é uma exponencial complexa)

Passo 1

Vamos lá! Você me enviou um exercício onde a gente precisa verificar se uma certa função de onda Psi(x, t) é uma solução para a equação de Schrödinger de um oscilador harmônico simples. Isso envolve entender um pouquinho de mecânica quântica, especificamente sobre como partículas se comportam em potenciais harmônicos. Vamos ver o que precisamos fazer para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Schrödinger. Ela descreve como a função de onda de uma partícula evolui no tempo. A equação geral depende do potencial V(x) que a partícula está sofrendo. No nosso caso, queremos ver se a função de onda dada Psi(x, t) satisfaz essa equação para algum potencial V(x).

Passo 3

A equação de Schrödinger dependente do tempo é dada por:
i hbar partial Psipartial t = -hbar^22m partial^2 Psipartial x^2 + V(x) Psi
Onde:
  • i é a unidade imaginária,
  • hbar é a constante de Planck reduzida,
  • m é a massa da partícula,
  • Psi(x, t) é a função de onda,
  • V(x) é o potencial.
Nosso objetivo é substituir Psi(x, t) nessa equação e descobrir qual V(x) torna essa igualdade verdadeira.

Passo 4

Vamos começar calculando as derivadas necessárias da função de onda Psi(x, t). A função é dada por:
Psi(x, t) = A e^ - raizC m2 hbar x^2 e^ - i2 raizCm t
Primeiro, a derivada parcial de Psi em relação ao tempo t:
partial Psipartial t = A e^ - raizC m2 hbar x^2 ( - i2 raizCm ) e^ - i2 raizCm t = - i2 raizCm Psi

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de Psi em relação a x:
Primeiro, a primeira derivada:
partial Psipartial x = A ( - raizC mhbar x ) e^ - raizC m2 hbar x^2 e^ - i2 raizCm t = - raizC mhbar x Psi
Agora, a segunda derivada:
partial^2 Psipartial x^2 = - raizC mhbar Psi + (- raizC mhbar x ) ( - raizC mhbar x ) Psi = - raizC mhbar Psi + C mhbar^2 x^2 Psi
Simplificando:
partial^2 Psipartial x^2 = ( C mhbar^2 x^2 - raizC mhbar ) Psi

Passo 6

Agora, vamos substituir as derivadas que calculamos na equação de Schrödinger:
i hbar ( - i2 raizCm Psi ) = -hbar^22m ( C mhbar^2 x^2 - raizC mhbar ) Psi + V(x) Psi
Simplificando o lado esquerdo:
i hbar ( - i2 raizCm ) Psi = hbar2 raizCm Psi
E o lado direito:
- hbar^22m cdot C mhbar^2 x^2 Psi + hbar^22m cdot raizC mhbar Psi + V(x) Psi = - C2 x^2 Psi + hbar raizC m2m Psi + V(x) Psi

Passo 7

Agora, igualamos os lados:
hbar2 raizCm Psi = - C2 x^2 Psi + hbar raizC m2m Psi + V(x) Psi
Podemos simplificar cancelando Psi dos dois lados:
hbar2 raizCm = - C2 x^2 + hbar raizC m2m + V(x)

Passo 8

Agora, resolvemos para V(x):
V(x) = hbar2 raizCm + C2 x^2 - hbar raizC m2m
Observando os termos constantes:
hbar2 raizCm - hbar raizC m2m = 0
Porque hbar2 raizCm = hbar raizC m2m.
Então, sobra:
V(x) = C2 x^2

Resposta

A função de onda Psi(x, t) fornecida satisfaz a equação de Schrödinger quando o potencial é V(x) = C2 x^2. Portanto, V(x) = C2 x^2 é o potencial apropriado.

Exercícios relacionados