A função de onda
para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples, constituído de uma partícula de massa
sob ação de uma força restauradora linear cuja constante é
, pode ser expressa como:
onde a constante real
pode ter qualquer valor. Verifique que essa expressão é uma solução para a equação de Schrödinger com o potencial apropriado. (O termo dependente do tempo é uma exponencial complexa)
Passo 1
Vamos lá! Você me enviou um exercício onde a gente precisa verificar se uma certa função de onda
é uma solução para a equação de Schrödinger de um oscilador harmônico simples. Isso envolve entender um pouquinho de mecânica quântica, especificamente sobre como partículas se comportam em potenciais harmônicos. Vamos ver o que precisamos fazer para resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Schrödinger. Ela descreve como a função de onda de uma partícula evolui no tempo. A equação geral depende do potencial
que a partícula está sofrendo. No nosso caso, queremos ver se a função de onda dada
satisfaz essa equação para algum potencial
.
Passo 3
A equação de Schrödinger dependente do tempo é dada por:
Onde:
-
é a unidade imaginária, -
é a constante de Planck reduzida, -
é a massa da partícula, -
é a função de onda, -
é o potencial.
Nosso objetivo é substituir
nessa equação e descobrir qual
torna essa igualdade verdadeira.
Passo 4
Vamos começar calculando as derivadas necessárias da função de onda
. A função é dada por:
Primeiro, a derivada parcial de
em relação ao tempo
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Primeiro, a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir as derivadas que calculamos na equação de Schrödinger:
Simplificando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Passo 7
Agora, igualamos os lados:
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Observando os termos constantes:
Porque
.
Então, sobra:
Resposta
A função de onda
fornecida satisfaz a equação de Schrödinger quando o potencial é
. Portanto,
é o potencial apropriado.
Exercícios relacionados
Calcule a densidade de probabilidade para a função de onda do estado de menor energia do oscilador harmônico simples do exercício 3, com função de onda:
A função de onda de um elétron livre, ou seja, de um elétron que não está sujeito a uma força, é dada por
, na qual
está em metros. Determine (a) o momento do elétron; (b) a energia total do elétron; © o comprimento de onda do elétron.
(a) Mostre que a função de onda
não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. (b) Mostre que
satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por
e uma energia dada por
, em que
é um comprimento. (a) Determine a energia potencial em função de x e faça um gráfico de
em função de
. (b) Que tipo de potencial clássico tem essa forma?