A função de onda para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples, constituído de uma partícula de massa sob ação de uma força restauradora linear cuja constante é , pode ser expressa como:
onde a constante real pode ter qualquer valor. Verifique que essa expressão é uma solução para a equação de Schrödinger com o potencial apropriado. (O termo dependente do tempo é uma exponencial complexa)

Passo 1

Vamos lá! Você me enviou um exercício onde a gente precisa verificar se uma certa função de onda é uma solução para a equação de Schrödinger de um oscilador harmônico simples. Isso envolve entender um pouquinho de mecânica quântica, especificamente sobre como partículas se comportam em potenciais harmônicos. Vamos ver o que precisamos fazer para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Schrödinger. Ela descreve como a função de onda de uma partícula evolui no tempo. A equação geral depende do potencial que a partícula está sofrendo. No nosso caso, queremos ver se a função de onda dada satisfaz essa equação para algum potencial .

Passo 3

A equação de Schrödinger dependente do tempo é dada por:
Onde:
  • é a unidade imaginária,
  • é a constante de Planck reduzida,
  • é a massa da partícula,
  • é a função de onda,
  • é o potencial.
Nosso objetivo é substituir nessa equação e descobrir qual torna essa igualdade verdadeira.

Passo 4

Vamos começar calculando as derivadas necessárias da função de onda . A função é dada por:
Primeiro, a derivada parcial de em relação ao tempo :

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a :
Primeiro, a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos substituir as derivadas que calculamos na equação de Schrödinger:
Simplificando o lado esquerdo:
E o lado direito:

Passo 7

Agora, igualamos os lados:
Podemos simplificar cancelando dos dois lados:

Passo 8

Agora, resolvemos para :
Observando os termos constantes:
Porque .
Então, sobra:

Resposta

A função de onda fornecida satisfaz a equação de Schrödinger quando o potencial é . Portanto, é o potencial apropriado.

Exercícios relacionados

Calcule a densidade de probabilidade para a função de onda do estado de menor energia do oscilador harmônico simples do exercício 3, com função de onda:
A função de onda de um elétron livre, ou seja, de um elétron que não está sujeito a uma força, é dada por , na qual está em metros. Determine (a) o momento do elétron; (b) a energia total do elétron; © o comprimento de onda do elétron.
(a) Mostre que a função de onda não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. (b) Mostre que satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por e uma energia dada por , em que é um comprimento. (a) Determine a energia potencial em função de x e faça um gráfico de em função de . (b) Que tipo de potencial clássico tem essa forma?