(a) Mostre que a função de onda Psi(x, t)=Asen(k x-omega t) não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. (b) Mostre que Psi(x, t)=Acos(k x-omega t)+i A sen(k x-omega t) satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas partes:
(a) Mostrar que a função de onda não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
(b) Mostrar que a função de onda satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger, para verificar se essas funções de onda estão de acordo com ela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula livre (sem potencial):
ihbar partial Psipartial t = -hbar^22m partial^2 Psipartial x^2
Aqui:
  • Psi(x, t) é a função de onda.
  • hbar é a constante de Planck reduzida.
  • m é a massa da partícula.
  • i é a unidade imaginária.
Nossa tarefa é substituir as funções dadas nessa equação e verificar se ela é satisfeita.

Passo 3

Parte (a): Vamos verificar se satisfaz a equação de Schrödinger.
Primeiro, calculamos a derivada parcial de Psi(x, t) = A sen(kx - omega t) em relação ao tempo Psi:
t
Multiplicando por partial Psipartial t = -A omega cos(kx - omega t) :
ihbar
Agora, calculamos a segunda derivada parcial de ihbar partial Psipartial t = -ihbar A omega cos(kx - omega t) em relação ao espaço Psi:
x
Multiplicando por partial Psipartial x = A k cos(kx - omega t) :
Agora, comparamos os dois lados da equação de Schrödinger:
Vemos que os termos não são iguais, então a função de onda não satisfaz a equação de Schrödinger.

Passo 4

Parte (b): Agora, vamos verificar se satisfaz a equação de Schrödinger.
Primeiro, calculamos a derivada parcial de Psi(x, t) = A cos(kx - omega t) + i A sen(kx - omega t) em relação ao tempo Psi:
Multiplicando por t:
Agora, calculamos a segunda derivada parcial de partial Psipartial t = -A omega sen(kx - omega t) + i A omega cos(kx - omega t) em relação ao espaço ihbar:
Multiplicando por ihbar partial Psipartial t = -ihbar A omega sen(kx - omega t) - hbar A omega cos(kx - omega t) :
Para que a equação de Schrödinger seja satisfeita, devemos ter:
Comparando os termos reais e imaginários:
  • Termos com Psi:
    x
  • Termos com :
    partial Psipartial x = -A k sen(kx - omega t) + i A k cos(kx - omega t)
Isso implica que:
partial^2 Psipartial x^2 = -A k^2 cos(kx - omega t) - i A k^2 sen(kx - omega t)
Essa relação é conhecida como a relação de dispersão para uma partícula livre na mecânica quântica. Portanto, se -hbar^22m satisfaz essa relação, a função de onda satisfaz a equação de Schrödinger.

Resposta

(a) A função de onda não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
(b) A função de onda satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo, desde que Psi(x, t) = A sen(kx - omega t).

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