(a) Mostre que a função de onda
não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. (b) Mostre que
satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas partes:
(a) Mostrar que a função de onda não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
(b) Mostrar que a função de onda satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger, para verificar se essas funções de onda estão de acordo com ela.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula livre (sem potencial):
Aqui:
-
é a função de onda. -
é a constante de Planck reduzida. -
é a massa da partícula. -
é a unidade imaginária.
Nossa tarefa é substituir as funções dadas nessa equação e verificar se ela é satisfeita.
Passo 3
Parte (a): Vamos verificar se satisfaz a equação de Schrödinger.
Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação ao tempo
:
Multiplicando por
:
Agora, calculamos a segunda derivada parcial de
em relação ao espaço
:
Multiplicando por
:
Agora, comparamos os dois lados da equação de Schrödinger:
Vemos que os termos não são iguais, então a função de onda não satisfaz a equação de Schrödinger.
Passo 4
Parte (b): Agora, vamos verificar se satisfaz a equação de Schrödinger.
Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação ao tempo
:
Multiplicando por
:
Agora, calculamos a segunda derivada parcial de
em relação ao espaço
:
Multiplicando por
:
Para que a equação de Schrödinger seja satisfeita, devemos ter:
Comparando os termos reais e imaginários:
-
Termos com
: -
Termos com :
Isso implica que:
Essa relação é conhecida como a relação de dispersão para uma partícula livre na mecânica quântica. Portanto, se
satisfaz essa relação, a função de onda satisfaz a equação de Schrödinger.
Resposta
(a) A função de onda não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
(b) A função de onda satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo, desde que
.
Exercícios relacionados
A função de onda
para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples, constituído de uma partícula de massa
sob ação de uma força restauradora linear cuja constante é
, pode ser expressa como:
onde a constante real
pode ter qualquer valor. Verifique que essa expressão é uma solução para a equação de Schrödinger com o potencial apropriado. (O termo dependente do tempo é uma exponencial complexa)
Calcule a densidade de probabilidade para a função de onda do estado de menor energia do oscilador harmônico simples do exercício 3, com função de onda:
Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por
e uma energia dada por
, em que
é um comprimento. (a) Determine a energia potencial em função de x e faça um gráfico de
em função de
. (b) Que tipo de potencial clássico tem essa forma?
a) Qual a amplitude do movimento oscilatório no regime estacionário, quando a frequência externa for
?
b) Qual a amplitude do movimento na ressonância e para baixas frequências?
c) Qual é o fator de qualidade na ressonância para este oscilador?
d) Trace um gráfico (em escala) da curva de ressonância para este sistema. Indique a amplitude máxima, a amplitude de baixas frequências, a meia altura e a meia largura da curva.
Resp.: a) ; b)
e
c) 5
b) Qual a amplitude do movimento na ressonância e para baixas frequências?
c) Qual é o fator de qualidade na ressonância para este oscilador?
d) Trace um gráfico (em escala) da curva de ressonância para este sistema. Indique a amplitude máxima, a amplitude de baixas frequências, a meia altura e a meia largura da curva.
Resp.: a)