(a) Mostre que a função de onda
não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. (b) Mostre que
satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas partes:
(a) Mostrar que a função de onda não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
(b) Mostrar que a função de onda satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger, para verificar se essas funções de onda estão de acordo com ela.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula livre (sem potencial):
Aqui:
-
é a função de onda. -
é a constante de Planck reduzida. -
é a massa da partícula. -
é a unidade imaginária.
Nossa tarefa é substituir as funções dadas nessa equação e verificar se ela é satisfeita.
Passo 3
Parte (a): Vamos verificar se satisfaz a equação de Schrödinger.
Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação ao tempo
:
Multiplicando por
:
Agora, calculamos a segunda derivada parcial de
em relação ao espaço
:
Multiplicando por
:
Agora, comparamos os dois lados da equação de Schrödinger:
Vemos que os termos não são iguais, então a função de onda não satisfaz a equação de Schrödinger.
Passo 4
Parte (b): Agora, vamos verificar se satisfaz a equação de Schrödinger.
Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação ao tempo
:
Multiplicando por
:
Agora, calculamos a segunda derivada parcial de
em relação ao espaço
:
Multiplicando por
:
Para que a equação de Schrödinger seja satisfeita, devemos ter:
Comparando os termos reais e imaginários:
-
Termos com
: -
Termos com :
Isso implica que:
Essa relação é conhecida como a relação de dispersão para uma partícula livre na mecânica quântica. Portanto, se
satisfaz essa relação, a função de onda satisfaz a equação de Schrödinger.
Resposta
(a) A função de onda não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
(b) A função de onda satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo, desde que
.