A função de onda de um elétron livre, ou seja, de um elétron que não está sujeito a uma força, é dada por Psi(x)=A sen[(2,5.10^10) x], na qual x está em metros. Determine (a) o momento do elétron; (b) a energia total do elétron; © o comprimento de onda do elétron.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física quântica juntos! A gente tem a função de onda de um elétron livre, que é Psi(x) = A sen[(2,5 times 10^10) x]. O que a gente precisa descobrir são três coisas: o momento ( p) do elétron, a energia total ( E) dele e o comprimento de onda ( lambda). Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, como a relação entre o momento e o número de onda, e fórmulas de energia para partículas livres.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o momento do elétron. Na mecânica quântica, o momento p está relacionado ao número de onda k pela fórmula:
p = hbar k
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida, que vale aproximadamente 1,0545718 times 10^-34 J·s. O número de onda k é o coeficiente que multiplica o x na função seno, ou seja, k = 2,5 times 10^10 m^-1.
Então, substituindo os valores:
p = 1,0545718 times 10^-34 J·s times 2,5 times 10^10 m^-1
p = 2,6364295 times 10^-24 kg·m/s

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia total do elétron. Para uma partícula livre, a energia cinética E é dada por:
E = p^22m
Onde m é a massa do elétron, aproximadamente 9,10938356 times 10^-31 kg. Já encontramos o momento p no passo anterior.
Substituindo os valores:
E = (2,6364295 times 10^-24 kg·m/s)^22 times 9,10938356 times 10^-31 kg
E = 6,947451 times 10^-48 kg^2cdotm^2/s^21,8218767 times 10^-30 kg
E approx 3,81 times 10^-18 J

Passo 4

Por último, vamos determinar o comprimento de onda do elétron. A relação entre o comprimento de onda lambda e o número de onda k é dada por:
lambda = 2pik
Substituindo k = 2,5 times 10^10 m^-1:
lambda = 2pi2,5 times 10^10 m^-1
lambda approx 6,283192,5 times 10^10
lambda approx 2,513 times 10^-10 m

Resposta

(a) O momento do elétron é aproximadamente 2,64 times 10^-24 kg·m/s.
(b) A energia total do elétron é cerca de 3,81 times 10^-18 J.
© O comprimento de onda do elétron é aproximadamente 2,51 times 10^-10 m.

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