Calcule a derivada de cada função abaixo.
9a
Calcule a derivada de cada função abaixo: y = (x^2 + 1) arctg(x) - x / 2.

Passo 1

A gente tem o exercício de derivada aqui: queremos calcular a derivada da função . A matéria que vamos usar é cálculo diferencial, especialmente a regra da derivada para funções compostas e produtos. Precisamos conhecer as derivadas de funções polinomiais e da função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a derivação. A função está dividida por 2, então podemos fatorar esse 2 e derivar apenas o numerador.

Passo 3

Vamos derivar o numerador: . Para isso, vamos usar a regra do produto para o primeiro termo e a derivada de para o segundo termo.

Passo 4

Derivando : aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 5

Calculando :
  • , então .
  • , então .

Passo 6

Substituindo:
.

Passo 7

Derivamos também o termo , cuja derivada é .

Passo 8

Juntando tudo, a derivada do numerador é .

Passo 9

Agora, dividimos pela constante 2:
.

Resposta

A derivada da função é .

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