Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Res.:
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem:
Vamos usar o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como método dos parâmetros, para resolver essa equação. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e sobre fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar:
Onde:
Esse formato nos ajuda a identificar claramente as funções que vamos usar no método.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante, geralmente denotado por
, é dado por:
No nosso caso,
, então vamos calcular a integral:
Portanto,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante
:
Isso transforma a equação em uma forma que permite integrar facilmente o lado esquerdo.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo agora pode ser escrito como a derivada de
:
Isso porque, pela regra do produto:
Que é exatamente o que temos no lado esquerdo da equação.
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver a integral do lado direito. Fazemos uma substituição simples:
Seja
, então
.
Portanto,
Passo 8
Substituindo de volta na equação, temos:
Agora, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: