Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
d y / d x + cos(x) y = cos(x)
Res.: y(x) = 1 + C e^(-sen(x))

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem:
Vamos usar o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como método dos parâmetros, para resolver essa equação. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e sobre fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar:
Onde:
Esse formato nos ajuda a identificar claramente as funções que vamos usar no método.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante, geralmente denotado por , é dado por:
No nosso caso, , então vamos calcular a integral:
Portanto,

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante :
Isso transforma a equação em uma forma que permite integrar facilmente o lado esquerdo.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo agora pode ser escrito como a derivada de :
Isso porque, pela regra do produto:
Que é exatamente o que temos no lado esquerdo da equação.

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver a integral do lado direito. Fazemos uma substituição simples:
Seja , então .
Portanto,

Passo 8

Substituindo de volta na equação, temos:
Agora, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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