Calcule a derivada de cada função abaixo: y = arctg((1+x)/(1-x)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função . Estamos trabalhando com derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função em relação a é . Aqui, a nossa é . Então, aplicando a regra da cadeia, precisamos multiplicar a derivada de pela derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se , então .
Aqui, e . As derivadas são e . Aplicando na fórmula:

Passo 4

Agora, voltando à derivada de :
Substituindo e :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro do denominador:
Calculando os quadrados:
Somando:
Então:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada:
Simplificando:

Resposta

A derivada da função é .

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