Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
x dy/dx + x^2 y = x^2
y = C e^(-x^2 / 2) + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear usando o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Para resolver isso, precisamos entender como funciona o método e aplicar as fórmulas certas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação diferencial linear. Dividindo ambos os lados por , temos:
Aqui, identificamos que a equação está na forma:
onde e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Com o fator integrante, multiplicamos toda a equação diferencial original por :
Isso simplifica a equa�o para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral da derivada é simplesmente , e a integral do lado direito é:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Então, temos:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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