Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
cos(x) dy/dx + sen(x) y = cos(2x) + 1
Res.: y = C cos(x) + 2 x cos(x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear do primeiro grau:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como método da variação dos parâmetros. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e como resolver equações do tipo:

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais padrão. Para isso, dividimos todos os termos por cos(x) (assumindo que ):
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, vamos focar na equação reescrita:
Essa é uma equação linear de primeira ordem e podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
No nosso caso, . Então:

Passo 4

Vamos calcular o fator integrante mu(x):
Sabemos que:
Mas, para o fator integrante, ignoramos a constante C, então:

Passo 5

Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação original por mu(x):
Simplificando:

Passo 6

A equação multiplicada pelo fator integrante pode ser escrita como a derivada do produto :
Isso acontece porque:
E , o que confirma nossa equação.

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados da equação:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Vamos resolver a integral do lado direito:
Podemos separar a fração:
Sabemos que pode ser reescrito usando a identidade :
Então, a integral fica:
Simplificando:

Passo 9

Voltando à equação onde estávamos integrando:
Agora, solucionamos para y:
Podemos reescrever isso como:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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