Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
Res.:
Res.:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear do primeiro grau:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método da variação das constantes arbitrárias, também conhecido como método da variação dos parâmetros. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e como resolver equações do tipo:
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais padrão. Para isso, dividimos todos os termos por
(assumindo que
):
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, vamos focar na equação reescrita:
Essa é uma equação linear de primeira ordem e podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
No nosso caso,
. Então:
Passo 4
Vamos calcular o fator integrante
:
Sabemos que:
Mas, para o fator integrante, ignoramos a constante
, então:
Passo 5
Com o fator integrante encontrado, multiplicamos toda a equação original por
:
Simplificando:
Passo 6
A equação multiplicada pelo fator integrante pode ser escrita como a derivada do produto
:
Isso acontece porque:
E
, o que confirma nossa equação.
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados da equação:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Vamos resolver a integral do lado direito:
Podemos separar a fração:
Sabemos que
pode ser reescrito usando a identidade
:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Passo 9
Voltando à equação onde estávamos integrando:
Agora, solucionamos para
:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: