Calcule a derivada de cada função: f(x) = ((2*x^2 + 1)/(3*x^3 + 1))^2

Passo 1

Beleza! A gente precisa calcular a derivada da função . Vamos usar o conteúdo de derivadas, especificamente a regra da cadeia e a regra do quociente. Essas ferramentas vão nos ajudar a encontrar a taxa de variação da função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que nossa função é uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Para derivar , vamos aplicar a regra da cadeia, que nos diz como derivar funções compostas.
A regra da cadeia diz que se temos , então a derivada .

Passo 3

No nosso caso, podemos ver , onde .
Aplicando a regra da cadeia:
Agora, precisamos encontrar .

Passo 4

Para encontrar , que é a derivada de , vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos , então a derivada é:

Passo 5

Identificando os componentes:
Calculando as derivadas:

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então,

Passo 7

Agora, voltamos à derivada original:
Podemos simplificar multiplicando os numeradores e denominadores:

Resposta

A derivada da função é:

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