Calcule as seguintes raízes e as represente no plano complexo.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular as raízes cúbicas de -1 e representá-las no plano complexo. Vamos usar conceitos de números complexos e a fórmula de De Moivre para encontrar essas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser representado na forma polar:
, onde
é o módulo e
é o argumento.
Passo 3
O número -1 no plano complexo pode ser escrito na forma polar. Sabemos que -1 está no eixo real negativo, então seu módulo é 1 e o argumento é
radianos. Assim, temos:
Passo 4
Para encontrar as raízes cúbicas de -1, vamos aplicar a fórmula de De Moivre. As raízes
são dadas por:
onde
.
Passo 5
No nosso caso,
e
. Então, as raízes são:
para
.
Passo 6
Vamos calcular cada uma das raízes:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, vamos representar essas raízes no plano complexo. Cada raiz corresponde a um ponto com as coordenadas (parte real, parte imaginária):
-
está no primeiro quadrante. -
está no eixo real negativo. -
está no quarto quadrante.
Esses pontos formam um triângulo equilátero no plano complexo, cada um com um ângulo de
entre eles.
Resposta
As raízes cúbicas de -1 são:
E elas estão representadas no plano complexo como os vértices de um triângulo equilátero.