Calcule as seguintes raízes e as represente no plano complexo. raiz(-1, 3)

Passo 1

Então, a gente tem que calcular as raízes cúbicas de -1 e representá-las no plano complexo. Vamos usar conceitos de números complexos e a fórmula de De Moivre para encontrar essas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser representado na forma polar: , onde é o módulo e é o argumento.

Passo 3

O número -1 no plano complexo pode ser escrito na forma polar. Sabemos que -1 está no eixo real negativo, então seu módulo é 1 e o argumento é radianos. Assim, temos:

Passo 4

Para encontrar as raízes cúbicas de -1, vamos aplicar a fórmula de De Moivre. As raízes são dadas por:
onde .

Passo 5

No nosso caso, e . Então, as raízes são:
para .

Passo 6

Vamos calcular cada uma das raízes:
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, vamos representar essas raízes no plano complexo. Cada raiz corresponde a um ponto com as coordenadas (parte real, parte imaginária):
  • está no primeiro quadrante.
  • está no eixo real negativo.
  • está no quarto quadrante.
Esses pontos formam um triângulo equilátero no plano complexo, cada um com um ângulo de entre eles.

Resposta

As raízes cúbicas de -1 são:
E elas estão representadas no plano complexo como os vértices de um triângulo equilátero.

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