Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique. lim x +infty (x+1)(x+2) cdots(x+10)(x^2+1)^5 8 lim x -infty(x+raizx^2+3 x+2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular:
lim x +infty (x+1)(x+2) cdots(x+10)(x^2+1)^5 cdot lim x -infty(x+raizx^2+3 x+2)
Vamos usar conceitos de limites envolvendo funções polinomiais e propriedades de raízes. Precisaremos simplificar cada parte do limite separadamente antes de multiplicá-las no final.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando lim x +infty (x+1)(x+2) cdots(x+10)(x^2+1)^5 tende a lim x +infty x^10x^10 = 1 :
O numerador é o produto de 10 termos lineares em , o que resulta em um polinômio de grau 10. O denominador é , que também é um polinômio de grau 10. Para encontrar o limite, observamos os termos de maior grau:
  • Numerador: (produto dos de cada fator).
  • Denominador: (expandindo ).
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos resolver o segundo limite quando lim x -infty(x+raizx^2+3 x+2) tende a raizx^2+3x+2 = |x|raiz1 + 3x + 2x^2 :
x + raizx^2+3x+2 = x - xraiz1 + 3x + 2x^2 = x - x(1 + 32x + cdots) = -32
Para simplificar, vamos fatorar lim x -infty(x+raizx^2+3 x+2) = -32 dentro da raiz:
Como está indo para , . Então:
Portanto:

Resposta

Multiplicando os dois limites encontrados:
1 cdot (-32) = -32
Então, o limite solicitado é .

Exercícios relacionados