Decomponha cada um dos polinômios abaixo como um produto de polinômios do primeiro grau: P(z) = z^2 - (1+i) z + 5i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para decompor o polinômio em um produto de polinômios do primeiro grau. Isso significa que queremos escrever como , onde e são as raízes do polinômio. Para isso, vamos precisar usar a fórmula de Bhaskara para encontrar essas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação quadrática :
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (termo constante)

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos calcular o discriminante :
Calculando :
Então:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a raiz quadrada de . Para facilitar, vamos representar na forma polar:
  • Módulo:
  • Argumento: (já que está no eixo negativo imaginário)
A raiz quadrada de um número complexo na forma polar é dada por . Assim:
E a outra raiz será .

Passo 6

Com as raízes da discriminante, podemos encontrar as raízes da equação original:
Calculando as duas possibilidades:
Para o sinal positivo:
Para o sinal negativo:

Resposta

Assim, o polinômio decomposto é:

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