Calcule a derivada de cada função: f(x)=(x^3-8)/(x^3+8)

Passo 1

Beleza, então vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar essa regra para derivar funções que são frações de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem o numerador e o denominador. Temos:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra do quociente para derivadas. Se temos uma função , a derivada é dada por:
Essa regra nos ajuda a derivar funções que são frações de outras funções.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
  • Derivada de :
  • Derivada de :
Viu como ficou simples? As derivadas dos termos são iguais porque a potência é a mesma.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a regra do quociente substituindo , , e na fórmula:
Isso pode parecer um pouco complicado, mas vamos simplificar.

Passo 6

Vamos distribuir os termos no numerador:
Simplificando:
Os termos e se cancelam, sobrando:

Passo 7

Então, o numerador simplificado é e o denominador permanece . Assim, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é:

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