Calcule a derivada de cada função: f(x) = (2 x + 1) / (x + 5) (3 x + 1)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que foi pedido: precisamos calcular a derivada da função . Esse exercício está na área de cálculo diferencial, especificamente usando a regra do produto e a regra do quociente para derivadas. Vamos precisar conhecer essas duas regras para resolver o problema.

Passo 2

Vamos identificar as partes da função que estamos trabalhando. Temos duas funções multiplicadas:
Para derivar , vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é:

Passo 3

Primeiro, vamos derivar . Aqui, usamos a regra do quociente, que diz que se temos , então:
No nosso caso, e , então:
Substituindo na fórmula:
Simplificando o numerador:
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos derivar . Essa é uma função linear, cuja derivada é simplesmente o coeficiente de . Portanto:

Passo 5

Com as derivadas de e calculadas, aplicamos a regra do produto:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, multiplicamos os termos:
Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum, que é . Ajustamos a segunda fração:
Agora, somamos os numeradores:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
Primeiro, expandimos :
Agora,
Somando tudo:
Portanto,

Passo 8

Podemos simplificar ainda mais o numerador fatorando:
Não há mais fatoração simples, então a derivada final é:

Resposta

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