Calcule a derivada de cada função: f(x) = (raiz(x) - 1) / (raiz(x) + 1)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando as regras de derivação para funções que são frações (relação percentual). Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Regra do Quociente, que nos ajuda a derivar funções que são divisões de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes do nosso quociente. Podemos escrever nossa função como , onde:
Agora, precisamos derivar e separadamente.

Passo 3

Vamos derivar . Lembrando que , a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar . Novamente, , então:

Passo 5

Agora que temos e , podemos aplicar a Regra do Quociente, que diz:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Subtraindo os dois resultados:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:
Podemos deixar assim ou reescrever para simplificar:

Resposta

A derivada da função é .

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