Calcule a derivada de cada função:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia. A Regra do Quociente ajuda a derivar funções que são frações, e a Regra da Cadeia é útil para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o numerador e o denominador da nossa função:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 3

Agora, vamos derivar o numerador usando a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia diz que para derivar uma função composta, a gente deriva a “bola de fora” e multiplica pela derivada da “bola de dentro”.
Então,

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para o denominador . Usando a Regra da Cadeia:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Quociente, que diz:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, fatoramos :
Simplificando dentro dos colchetes:
Então,

Resposta

A derivada da função é:

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Mostre que o conjunto dos números tais que representa uma reta no plano complexo. Esboce esta reta.
Ache usando diferenciação implícita:
Calcule a derivada de cada função:
Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos : .