Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos
:
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para provar que, para quaisquer números complexos
e
, a magnitude de
é igual à magnitude do seu conjugado, ou seja,
. Vamos usar conceitos de números complexos e propriedades de magnitudes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo
pode ser escrito na forma
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária.
Passo 3
O conjugado de
, denotado por
, é dado por
. Isso basicamente inverte o sinal da parte imaginária.
Passo 4
A magnitude de um número complexo
é definida como
. É a distância do ponto
até a origem no plano complexo.
Passo 5
Agora, vamos calcular a magnitude de
:
Note que
, já que qualquer número ao quadrado é positivo.
Passo 6
Comparamos as magnitudes de
e
:
Vemos que elas são iguais.
Resposta
Portanto, para todo
, temos que
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de cada função:
Calcule a derivada de cada função:
Ache
usando diferenciação implícita:
Encontre a solução do problema de condução de calor