Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos : .

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para provar que, para quaisquer números complexos e , a magnitude de é igual à magnitude do seu conjugado, ou seja, . Vamos usar conceitos de números complexos e propriedades de magnitudes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser escrito na forma , onde e são números reais, e é a unidade imaginária.

Passo 3

O conjugado de , denotado por , é dado por . Isso basicamente inverte o sinal da parte imaginária.

Passo 4

A magnitude de um número complexo é definida como . É a distância do ponto até a origem no plano complexo.

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude de :
Note que , já que qualquer número ao quadrado é positivo.

Passo 6

Comparamos as magnitudes de e :
Vemos que elas são iguais.

Resposta

Portanto, para todo , temos que .

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