Calcule a derivada de cada função:
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. A questão pede para calcular a derivada da função
. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. A raiz cúbica pode ser expressa como uma potência fracionária:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada para derivar funções compostas. A regra da cadeia nos diz que se temos uma função
, então sua derivada é:
Passo 4
Identificamos as funções internas e externas na nossa função
:
- Função externa:
- Função interna:
Passo 5
Vamos derivar a função externa em relação a
:
Isso significa que a derivada da parte externa da função é
vezes
elevado a
.
Passo 6
Agora, derivamos a função interna em relação a
:
Aqui, usamos a regra do poder e a regra do produto.
Passo 7
Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as derivadas que encontramos:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão:
Aqui, dividimos
por
para obter
.
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de cada função:
Mostre que o conjunto dos números
tais que
representa uma reta no plano complexo. Esboce esta reta.
Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos
:
.
Ache
usando diferenciação implícita: