Calcule a derivada de cada função:

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. A questão pede para calcular a derivada da função . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. A raiz cúbica pode ser expressa como uma potência fracionária:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada para derivar funções compostas. A regra da cadeia nos diz que se temos uma função , então sua derivada é:

Passo 4

Identificamos as funções internas e externas na nossa função :
  • Função externa:
  • Função interna:

Passo 5

Vamos derivar a função externa em relação a :
Isso significa que a derivada da parte externa da função é vezes elevado a .

Passo 6

Agora, derivamos a função interna em relação a :
Aqui, usamos a regra do poder e a regra do produto.

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as derivadas que encontramos:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
Aqui, dividimos por para obter .

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule a derivada de cada função:
Mostre que o conjunto dos números tais que representa uma reta no plano complexo. Esboce esta reta.
Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos : .
Ache usando diferenciação implícita: