Calcule a derivada de cada função: H(x) = (x^2 + 2x + 1) / (x^2 - 2x + 1)

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisamos achar a derivada dela, ou seja, . Vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente, que ajuda a derivar funções que são frações de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o numerador e o denominador da nossa função. No caso, o numerador é e o denominador é .

Passo 3

A regra do quociente diz que a derivada de é dada por:
Então, precisamos calcular as derivadas de f(x) e g(x).

Passo 4

Vamos derivar :
Agora, vamos derivar :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador.

Passo 6

Primeiro, expandimos as multiplicações:

Passo 7

Subtraímos os dois resultados:

Passo 8

Então, a derivada fica:
Podemos fatorar o numerador:
E o denominador pode ser escrito como , já que .

Passo 9

Simplificando a expressão:
Depois de cancelar um fator .

Resposta

A derivada da função é:

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