Prove que se z, w in C e z w = 0 então z = 0 ou w = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que se e são números complexos e a multiplicação deles dá zero, então pelo menos um dos dois números, ou ou , tem que ser igual a zero. Vamos precisar entender como funciona a multiplicação de números complexos e aplicar algumas propriedades básicas da álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser escrito na forma , onde e são números reais, e é a unidade imaginária, tal que . O mesmo vale para .

Passo 3

Agora, vamos multiplicar por :
Sabemos que , então:
Podemos agrupar as partes reais e imaginárias:

Passo 4

Segundo o enunciado, . Isso significa que tanto a parte real quanto a parte imaginária do produto devem ser iguais a zero:

Passo 5

Temos, então, um sistema de duas equações:
Vamos tentar resolver esse sistema para mostrar que pelo menos um dos números ou deve ser zero.

Passo 6

Vamos considerar duas possibilidades:
  1. Se :
    • A primeira equação fica .
    • Isso significa que ou ou .
    • Se e , então .
    • Se e , precisamos verificar a segunda equação.
  2. Se :
    • Da primeira equação, .
    • Substituindo na segunda equação:
    • Isso implica que ou .
    • Se , então da primeira equação , e como , , então .
    • Se , isso levaria a uma contradição a menos que , que já consideramos.

Passo 7

Em ambos os casos, concluímos que se , então pelo menos um dos números ou deve ser igual a zero.

Resposta

Portanto, provamos que se para números complexos e , então necessariamente ou .

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