Prove que se
e
então
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que se
e
são números complexos e a multiplicação deles
dá zero, então pelo menos um dos dois números, ou
ou
, tem que ser igual a zero. Vamos precisar entender como funciona a multiplicação de números complexos e aplicar algumas propriedades básicas da álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo
pode ser escrito na forma
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária, tal que
. O mesmo vale para
.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar
por
:
Sabemos que
, então:
Podemos agrupar as partes reais e imaginárias:
Passo 4
Segundo o enunciado,
. Isso significa que tanto a parte real quanto a parte imaginária do produto devem ser iguais a zero:
Passo 5
Temos, então, um sistema de duas equações:
Vamos tentar resolver esse sistema para mostrar que pelo menos um dos números
ou
deve ser zero.
Passo 6
Vamos considerar duas possibilidades:
-
Se
: - A primeira equação fica
⇒ . - Isso significa que ou
ou . - Se
e , então . - Se
e , precisamos verificar a segunda equação.
- A primeira equação fica
-
Se
: - Da primeira equação,
. - Substituindo na segunda equação:
- Isso implica que
ou . - Se
, então da primeira equação , e como , , então . - Se
, isso levaria a uma contradição a menos que , que já consideramos.
- Da primeira equação,
Passo 7
Em ambos os casos, concluímos que se
, então pelo menos um dos números
ou
deve ser igual a zero.
Resposta
Portanto, provamos que se
para números complexos
e
, então necessariamente
ou
.