Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função
. O que precisamos aqui é entender como derivar uma função que está dividida, ou seja, um quociente. Para isso, vamos usar a Regra do Quociente, que é uma ferramenta da derivação em cálculo. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte de cima e a de baixo da fração:
- Numerador (
): - Denominador (
):
Passo 3
Agora, segundo a Regra do Quociente, a derivada de
é dada por:
Ou seja, a derivada de cima vezes o de baixo menos a de cima vezes a derivada de baixo, tudo dividido pelo denominador ao quadrado.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
-
Derivada do Numerador (
): Aqui usamos a regra da cadeia, onde a derivada deé . -
Derivada do Denominador (
): Derivamos cada termo separadamente: a derivada deé e a derivada de é .
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra do Quociente com os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Passo 7
Continuando a simplificação:
Passo 8
Podemos fatorar
no numerador:
Passo 9
Finalmente, simplificando a expressão:
Resposta
A derivada da função é:
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