Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
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Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente aplicando a regra da cadeia porque temos funções compostas: uma raiz quadrada envolvendo um logaritmo que, por sua vez, envolve um polinômio. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e saber como derivar funções logarítmicas e de potência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação usando potências. A raiz quadrada é a mesma coisa que elevar a função a . Então:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é .
No nosso caso, temos:
  • onde
  • Vamos derivar em relação a e depois multiplicar pela derivada de em relação a .

Passo 4

Primeiro, derivamos :
Em seguida, derivamos . A derivada do logaritmo é:
onde . Então:
Logo,

Passo 5

Agora, combinamos as duas derivadas usando a regra da cadeia:
Podemos simplificar isso para:

Resposta

A derivada da função é:

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