Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(24)
(24)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função
. Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente aplicando a regra da cadeia porque temos funções compostas: uma raiz quadrada envolvendo um logaritmo que, por sua vez, envolve um polinômio. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e saber como derivar funções logarítmicas e de potência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação usando potências. A raiz quadrada é a mesma coisa que elevar a função a
. Então:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta
é
.
No nosso caso, temos:
-
onde - Vamos derivar
em relação a e depois multiplicar pela derivada de em relação a .
Passo 4
Primeiro, derivamos
:
Em seguida, derivamos
. A derivada do logaritmo é:
onde
. Então:
Logo,
Passo 5
Agora, combinamos as duas derivadas usando a regra da cadeia:
Podemos simplificar isso para:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(23)
(23)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(22)
(22)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(25)
(25)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(26)
(26)