Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função . Isso envolve o estudo de derivadas e a aplicação da regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas. Para resolver, vamos precisar aplicar essa regra passo a passo.
Passo 2
Vamos identificar as camadas da função para aplicar a regra da cadeia. Temos três níveis aqui:
- Função externa:
, onde . - Função intermediária: , onde .
- Função interna: .
Passo 3
A regra da cadeia nos diz que a derivada da função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função intermediária vezes a derivada da função interna. Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
- Derivada da função externa
em relação a : - Derivada da função intermediária em relação a
: - Derivada da função interna em relação a
:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando essas derivadas:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Resposta
A derivada da função é:
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Seja
a função bijetiva dada por
. Denote por
a inversa de
. Calcule
.