Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
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Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função . Isso envolve o estudo de derivadas e a aplicação da regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas. Para resolver, vamos precisar aplicar essa regra passo a passo.

Passo 2

Vamos identificar as camadas da função para aplicar a regra da cadeia. Temos três níveis aqui:
  1. Função externa: , onde .
  2. Função intermediária: , onde .
  3. Função interna: .

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que a derivada da função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função intermediária vezes a derivada da função interna. Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
  1. Derivada da função externa em relação a :
  2. Derivada da função intermediária em relação a :
  3. Derivada da função interna em relação a :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando essas derivadas:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Resposta

A derivada da função é:

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Seja a função bijetiva dada por . Denote por a inversa de . Calcule .