Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
f(x) = x^2 e^(arctan(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso envolve conhecimentos de derivadas de funções compostas e do produto de funções, então vamos precisar usar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra do Produto. Quando temos uma função que é o produto de duas outras funções, ou seja, , a derivada é dada por:
No nosso caso, identifiquemos as duas funções:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e individualmente.
Para :
Isso é direto, usando a regra de potência.

Passo 4

Para , precisamos usar a Regra da Cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é:
Aqui, , então precisamos derivar .

Passo 5

A derivada de é:
Então, substituindo de volta na derivada de :

Passo 6

Agora que temos e , aplicamos a Regra do Produto:

Passo 7

Podemos simplificar essa expressão fatorando :
E simplificando ainda mais o termo dentro dos parênteses:

Resposta

A derivada da função é:

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