Determinar, através da definição de continuidade, todos os valores de
, para os quais a função abaixo não é contínua.
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Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos:
A questão pede para determinar, usando a definição de continuidade, todos os valores de
onde a função
não é contínua. Vamos trabalhar com o conceito de continuidade de funções e entender onde a função
pode apresentar descontinuidades.
Passo 2
Expressando a Função
:
Primeiro, vamos lembrar que a função cosecante é o inverso da função seno. Matematicamente, isso é representado por:
Passo 3
Entendendo a Continuidade da Função
:
Para que a função
seja contínua em um ponto
, três condições devem ser satisfeitas:
-
está definida naquele ponto. - O limite de
quando se aproxima daquele ponto existe. - O valor da função no ponto é igual ao limite.
Se alguma dessas condições não for atendida, a função não será contínua nesse ponto.
Passo 4
Identificando Onde
Não Está Definida:
Observando a fórmula de
:
A função
não está definida quando o denominador é zero, ou seja, quando:
Passo 5
Encontrando os Valores de
onde
:
A função seno é igual a zero em múltiplos inteiros de
. Matemáticamente:
Onde
é qualquer número inteiro positivo ou negativo.
Passo 6
Aplicando a Restrição
:
Como o enunciado pede para considerar apenas
, restringimos
a inteiros positivos. Portanto, os valores de
onde a função
não é contínua são:
Resposta
Todos os valores de
para os quais
não é contínua são aqueles onde
é múltiplo de
. Ou seja,