Sejam
e
funções deriváveis em
tais que
para todo
. Sabendo que
e
, calcule
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de derivadas que envolve funções compostas. O enunciado nos diz que temos duas funções
e
que são deriváveis em todos os números reais, e que a composição
para todo
. Precisamos encontrar o valor da derivada de
no ponto
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e os dados fornecidos:
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação
. Isso significa que
e
são funções inversas uma da outra. Quando uma função é composta com sua inversa, o resultado é a função identidade, que simplesmente retorna o valor de entrada
.
Passo 3
Para encontrar
, vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
. Usamos a regra da cadeia para derivar a composição de funções:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
é:
E a derivada de
é simplesmente 1. Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa equação no ponto
. Sabemos que
, então substituímos:
Passo 6
Sabemos que
. Substituindo na equação:
Passo 7
Para encontrar
, basta resolver a equação:
Resposta
Exercícios relacionados
Explique por que a função é descontínua em
.
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Determine as assíntotas verticais e horizontais (se existirem) das funções abaixo:
a)
a)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: