Sejam f e g funções deriváveis em R tais que f(g(x)) = x para todo x em R. Sabendo que f'(1) = 2 e g(0) = 1, calcule g'(0).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de derivadas que envolve funções compostas. O enunciado nos diz que temos duas funções e que são deriváveis em todos os números reais, e que a composição para todo . Precisamos encontrar o valor da derivada de no ponto , ou seja, . Para isso, vamos usar a regra da cadeia e os dados fornecidos: e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação . Isso significa que e são funções inversas uma da outra. Quando uma função é composta com sua inversa, o resultado é a função identidade, que simplesmente retorna o valor de entrada .

Passo 3

Para encontrar , vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Usamos a regra da cadeia para derivar a composição de funções:

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de é:
E a derivada de é simplesmente 1. Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa equação no ponto . Sabemos que , então substituímos:

Passo 6

Sabemos que . Substituindo na equação:

Passo 7

Para encontrar , basta resolver a equação:

Resposta

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