Verificar, através da definição, a continuidade ou descontinuidade em x = 4 da função: f(x) = { (raiz(x) - 2) / (x - 4), se x ≠ 4; 2, se x = 4 }

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função é contínua ou não no ponto . Para isso, vamos usar a definição de continuidade, que envolve calcular o limite da função quando se aproxima de 4 e comparar com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos:
Queremos descobrir o que acontece com quando se aproxima de 4, mas sem ser exatamente 4.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando tende a 4:
Perceba que se substituirmos diretamente, teríamos uma divisão por zero, o que não é permitido. Então, precisamos manipular essa expressão para simplificar.

Passo 4

Vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pela expressão conjugada:
Agora, podemos cancelar no numerador e denominador:

Passo 5

Agora, com a expressão simplificada, podemos calcular o limite:

Passo 6

Sabemos também que o valor da função em é:

Passo 7

Para a função ser contínua em , o limite quando se aproxima de 4 deve ser igual ao valor da função em 4. Mas aqui temos:

Resposta

Como , a função é descontínua em .

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