Determine as assíntotas verticais e horizontais (se existirem) das funções abaixo:
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de matemática que fala sobre assíntotas verticais e horizontais de uma função. A função que vamos analisar é . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são assíntotas e como identificá-las em uma função racional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrências acontecem onde o denominador da função é zero, mas o numerador não é zero no mesmo ponto. Então, vamos igualar o denominador a zero e resolver para :
Podemos fatorar:
Então, as soluções são e .
Agora, precisamos verificar se o numerador também é zero nesses pontos:
  • Para :
    Como o numerador é zero, não temos uma assíntota vertical nesse ponto, mas sim um ponto de descontinuidade removível (buraco).
  • Para :
    Aqui, o numerador não é zero, então temos uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas assíntotas mostram o comportamento da função quando tende para o infinito ou para o menos infinito. Para funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais.
Observando nossa função:
  • O grau do numerador é 2 (devido ao ).
  • O grau do denominador também é 2.
Então, a assíntota horizontal será:
Portanto, a assíntota horizontal é .

Resposta

A função tem uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .

Exercícios relacionados

Sejam e funções deriváveis em tais que para todo . Sabendo que e , calcule .
Explique por que a função é descontínua em .
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Determine as assíntotas verticais e horizontais (se existirem) das funções abaixo:
b)