Determine as assíntotas verticais e horizontais (se existirem) das funções abaixo:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de matemática que fala sobre assíntotas verticais e horizontais de uma função. A função que vamos analisar é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são assíntotas e como identificá-las em uma função racional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrências acontecem onde o denominador da função é zero, mas o numerador não é zero no mesmo ponto. Então, vamos igualar o denominador a zero e resolver para
:
Podemos fatorar:
Então, as soluções são
e
.
Agora, precisamos verificar se o numerador também é zero nesses pontos:
-
Para
: Como o numerador é zero, não temos uma assíntota vertical nesse ponto, mas sim um ponto de descontinuidade removível (buraco). -
Para
: Aqui, o numerador não é zero, então temos uma assíntota vertical em.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas assíntotas mostram o comportamento da função quando
tende para o infinito ou para o menos infinito. Para funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais.
Observando nossa função:
- O grau do numerador é 2 (devido ao
). - O grau do denominador também é 2.
Então, a assíntota horizontal será:
Portanto, a assíntota horizontal é
.
Resposta
A função
tem uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
funções deriváveis em
tais que
para todo
. Sabendo que
e
, calcule
.
Explique por que a função é descontínua em
.
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Determine as assíntotas verticais e horizontais (se existirem) das funções abaixo:
b)
b)