Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
Vamos calcular a derivada da função
. Esse exercício faz parte da matéria de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções compostas e logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e saber derivar funções logarítmicas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a função
é uma composição de funções: o logaritmo natural está aplicando-se a
. Para derivar essa função, vamos aplicar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 3
De acordo com a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é
. Aqui,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
. A derivada de 4 é 0 e a derivada de
é
(usando novamente a regra da cadeia para a função exponencial).
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula da regra da cadeia, temos:
Passo 6
Simplificando a expressão, obtemos:
Resposta
A derivada da função é:
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Observações mostram que o comprimento
em milímetros (mm), do focinho à ponta da cauda, de um tigre siberiano pode ser estimado usando a função
, onde
é o peso do tigre em quilogramas
. Além disso, quando o tigre tem menos de 6 meses de idade, seu peso (em kg) pode ser estimado em termos da idade
em dias pela função
.
Qual á a taxa de variação do comprimento de um tigre siberiano em relação ao peso quando está pesando 60 kg ?
Qual á a taxa de variação do comprimento de um tigre siberiano em relação ao peso quando está pesando 60 kg ?
Estima-se que, daqui a
anos, a população em um certo município será de
milhares de habitantes. Um estudo ambiental revela que a concentração média de monóxido de carbono no ar é dada por
partes por milhão, onde
é a população em milhares de habitantes.
Qual será a taxa de variação de monóxido de carbono com relação ao tempo daqui a 2 anos? A concentração estará aumentando ou diminuindo nessa ocasião?
Qual será a taxa de variação de monóxido de carbono com relação ao tempo daqui a 2 anos? A concentração estará aumentando ou diminuindo nessa ocasião?