Estima-se que, daqui a
anos, a população em um certo município será de
milhares de habitantes. Um estudo ambiental revela que a concentração média de monóxido de carbono no ar é dada por
partes por milhão, onde
é a população em milhares de habitantes.
Qual será a taxa de variação de monóxido de carbono com relação ao tempo daqui a 2 anos? A concentração estará aumentando ou diminuindo nessa ocasião?
Qual será a taxa de variação de monóxido de carbono com relação ao tempo daqui a 2 anos? A concentração estará aumentando ou diminuindo nessa ocasião?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos fala sobre a população de um município que varia com o tempo e como isso afeta a concentração de monóxido de carbono no ar. Vamos precisar das funções dadas:
- População em função do tempo:
(milhares de habitantes) - Concentração de monóxido de carbono em função da população:
(partes por milhão)
Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono em relação ao tempo quando
anos e determinar se essa concentração está aumentando ou diminuindo nesse momento.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar
, a taxa de variação da concentração em relação ao tempo. Como
depende de
e
depende de
, vamos usar a regra da cadeia:
Passo 3
Vamos calcular
, a taxa de variação da população em relação ao tempo. Dada a função
, derivamos em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, a taxa de variação da concentração em relação à população. Dada a função
, usamos a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor de
quando
anos. Substituímos
na função
:
Passo 6
Com
, vamos calcular
:
Passo 7
Também com
, calculamos
:
Passo 8
Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar
:
Passo 9
Finalmente, determinamos se a concentração está aumentando ou diminuindo. Como
é positivo (
), a concentração de monóxido de carbono está aumentando daqui a 2 anos.
Resposta
Daqui a 2 anos, a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono em relação ao tempo será de aproximadamente
partes por milhão por ano, indicando que a concentração está aumentando nesse momento.
Exercícios relacionados
Observações mostram que o comprimento
em milímetros (mm), do focinho à ponta da cauda, de um tigre siberiano pode ser estimado usando a função
, onde
é o peso do tigre em quilogramas
. Além disso, quando o tigre tem menos de 6 meses de idade, seu peso (em kg) pode ser estimado em termos da idade
em dias pela função
.
Qual á a taxa de variação do comprimento de um tigre siberiano em relação ao peso quando está pesando 60 kg ?
Qual á a taxa de variação do comprimento de um tigre siberiano em relação ao peso quando está pesando 60 kg ?
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Quando substâncias orgânicas são lançadas em um lago, a concentração de oxigênio na água diminui temporariamente por causa da oxidação. Suponha que,
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