Estima-se que, daqui a t anos, a população em um certo município será de
p(t) = 20 - 6 / (t + 1)
milhares de habitantes. Um estudo ambiental revela que a concentração média de monóxido de carbono no ar é dada por c(p) = 0,5 * raiz(p^2 + p + 58) partes por milhão, onde p é a população em milhares de habitantes.
Qual será a taxa de variação de monóxido de carbono com relação ao tempo daqui a 2 anos? A concentração estará aumentando ou diminuindo nessa ocasião?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos fala sobre a população de um município que varia com o tempo e como isso afeta a concentração de monóxido de carbono no ar. Vamos precisar das funções dadas:
  • População em função do tempo: (milhares de habitantes)
  • Concentração de monóxido de carbono em função da população: (partes por milhão)
Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono em relação ao tempo quando anos e determinar se essa concentração está aumentando ou diminuindo nesse momento.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar , a taxa de variação da concentração em relação ao tempo. Como depende de e depende de , vamos usar a regra da cadeia:

Passo 3

Vamos calcular , a taxa de variação da população em relação ao tempo. Dada a função , derivamos em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular , a taxa de variação da concentração em relação à população. Dada a função , usamos a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor de quando anos. Substituímos na função :

Passo 6

Com , vamos calcular :

Passo 7

Também com , calculamos :

Passo 8

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar :
ã

Passo 9

Finalmente, determinamos se a concentração está aumentando ou diminuindo. Como é positivo ( ), a concentração de monóxido de carbono está aumentando daqui a 2 anos.

Resposta

Daqui a 2 anos, a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono em relação ao tempo será de aproximadamente partes por milhão por ano, indicando que a concentração está aumentando nesse momento.

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