Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
f(x) = a^x = e^(x ln(a)), onde a > 0.
Observação: compare o resultado do item (n) com a derivada de f(x) = x^a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função , onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a regra da cadeia e propriedades das funções exponenciais. Além disso, vamos comparar esse resultado com a derivada da função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Para diferenciar essa função, é útil reescrevê-la na base do número de Euler . Sabemos que . Isso facilita a derivação porque a derivada de é , onde é uma função de .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, vamos derivar . Aqui, . A derivada de em relação a é , já que é uma constante.

Passo 4

Agora, aplicando a regra da cadeia:
Ou seja, a derivada de é vezes .

Passo 5

Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos comparar com a derivada da função . Aqui, a base é e o expoente é uma constante . A regra para derivar é diferente porque o expoente é constante.

Passo 7

A derivada de é dada por:
Isso porque aplicamos a regra do poder, que diz que para , a derivada é .

Passo 8

Comparando as derivadas:
  • Para , a derivada é .
  • Para , a derivada é .
Percebemos que as regras de derivação diferem dependendo de onde está a constante: no expoente ou na base.

Resposta

A derivada da função é . Comparando com a derivada de , que é , observamos que quando a constante está na base, multiplicamos pelo logaritmo natural da base, enquanto quando a constante está no expoente, aplicamos a regra do poder.

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