Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
, onde
.
Observação: compare o resultado do item (n) com a derivada de
Observação: compare o resultado do item (n) com a derivada de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função
, onde
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a regra da cadeia e propriedades das funções exponenciais. Além disso, vamos comparar esse resultado com a derivada da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Para diferenciar essa função, é útil reescrevê-la na base do número de Euler
. Sabemos que
. Isso facilita a derivação porque a derivada de
é
, onde
é uma função de
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, vamos derivar
. Aqui,
. A derivada de
em relação a
é
, já que
é uma constante.
Passo 4
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Ou seja, a derivada de
é
vezes
.
Passo 5
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos comparar com a derivada da função
. Aqui, a base é
e o expoente é uma constante
. A regra para derivar
é diferente porque o expoente é constante.
Passo 7
A derivada de
é dada por:
Isso porque aplicamos a regra do poder, que diz que para
, a derivada é
.
Passo 8
Comparando as derivadas:
- Para
, a derivada é . - Para
, a derivada é .
Percebemos que as regras de derivação diferem dependendo de onde está a constante: no expoente ou na base.
Resposta
A derivada da função
é
. Comparando com a derivada de
, que é
, observamos que quando a constante está na base, multiplicamos pelo logaritmo natural da base, enquanto quando a constante está no expoente, aplicamos a regra do poder.
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Observações mostram que o comprimento
em milímetros (mm), do focinho à ponta da cauda, de um tigre siberiano pode ser estimado usando a função
, onde
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. Além disso, quando o tigre tem menos de 6 meses de idade, seu peso (em kg) pode ser estimado em termos da idade
em dias pela função
.
Qual é o comprimento de um tigre siberiano quando tem 100 dias de idade? Qual é a taxa de variação do comprimento com relação ao tempo nessa idade?
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Quando substâncias orgânicas são lançadas em um lago, a concentração de oxigênio na água diminui temporariamente por causa da oxidação. Suponha que,
dias após dejetos sem tratamento serem lançados em um certo lago, a fração da concentração normal de oxigênio que permanece na água do lago seja dada pela função
Com que taxa a fração de oxigênio
está variando após 10 dias? A fração está aumentando ou diminuindo nessa ocasião?