Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
, onde
.
Observação: compare o resultado do item (n) com a derivada de
Observação: compare o resultado do item (n) com a derivada de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função
, onde
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a regra da cadeia e propriedades das funções exponenciais. Além disso, vamos comparar esse resultado com a derivada da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Para diferenciar essa função, é útil reescrevê-la na base do número de Euler
. Sabemos que
. Isso facilita a derivação porque a derivada de
é
, onde
é uma função de
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, vamos derivar
. Aqui,
. A derivada de
em relação a
é
, já que
é uma constante.
Passo 4
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Ou seja, a derivada de
é
vezes
.
Passo 5
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos comparar com a derivada da função
. Aqui, a base é
e o expoente é uma constante
. A regra para derivar
é diferente porque o expoente é constante.
Passo 7
A derivada de
é dada por:
Isso porque aplicamos a regra do poder, que diz que para
, a derivada é
.
Passo 8
Comparando as derivadas:
- Para
, a derivada é . - Para
, a derivada é .
Percebemos que as regras de derivação diferem dependendo de onde está a constante: no expoente ou na base.
Resposta
A derivada da função
é
. Comparando com a derivada de
, que é
, observamos que quando a constante está na base, multiplicamos pelo logaritmo natural da base, enquanto quando a constante está no expoente, aplicamos a regra do poder.