Quando substâncias orgânicas são lançadas em um lago, a concentração de oxigênio na água diminui temporariamente por causa da oxidação. Suponha que,
dias após dejetos sem tratamento serem lançados em um certo lago, a fração da concentração normal de oxigênio que permanece na água do lago seja dada pela função
Com que taxa a fração de oxigênio
está variando após 10 dias? A fração está aumentando ou diminuindo nessa ocasião?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a fração da concentração normal de oxigênio,
, em um lago após
dias do lançamento de dejetos orgânicos. O problema nos pede para encontrar a taxa de variação dessa fração após 10 dias e determinar se ela está aumentando ou diminuindo nesse momento. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de
em relação ao tempo
e avaliar essa derivada em
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a taxa de variação de uma função em relação ao tempo é dada pela sua derivada. Então, precisamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
.
A função dada é:
Passo 3
Vamos calcular a derivada termo a termo.
- A derivada de uma constante, como 1, é 0.
- Para o termo
, podemos reescrever como e aplicar a regra da potência. - Para o termo
, reescrevemos como e também aplicamos a regra da potência.
Passo 4
Aplicando a regra da potência, que afirma que
, temos:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Passo 5
Agora, somamos as derivadas dos termos para encontrar
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão de
:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão de
:
Resposta
A taxa de variação da fração de oxigênio
após 10 dias é aproximadamente
por dia. Isso significa que a fração de oxigênio está diminuindo nessa ocasião.