Quando substâncias orgânicas são lançadas em um lago, a concentração de oxigênio na água diminui temporariamente por causa da oxidação. Suponha que, t dias após dejetos sem tratamento serem lançados em um certo lago, a fração da concentração normal de oxigênio que permanece na água do lago seja dada pela função
O(t) = 1 - 12/(t + 12) + 144/(t + 12)²
Com que taxa a fração de oxigênio O(t) está variando após 10 dias? A fração está aumentando ou diminuindo nessa ocasião?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a fração da concentração normal de oxigênio, , em um lago após dias do lançamento de dejetos orgânicos. O problema nos pede para encontrar a taxa de variação dessa fração após 10 dias e determinar se ela está aumentando ou diminuindo nesse momento. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de em relação ao tempo e avaliar essa derivada em .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a taxa de variação de uma função em relação ao tempo é dada pela sua derivada. Então, precisamos calcular , que é a derivada de em relação a .
A função dada é:

Passo 3

Vamos calcular a derivada termo a termo.
  1. A derivada de uma constante, como 1, é 0.
  2. Para o termo , podemos reescrever como e aplicar a regra da potência.
  3. Para o termo , reescrevemos como e também aplicamos a regra da potência.

Passo 4

Aplicando a regra da potência, que afirma que , temos:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :

Passo 5

Agora, somamos as derivadas dos termos para encontrar :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão de :

Passo 7

Agora, substituímos na expressão de :

Resposta

A taxa de variação da fração de oxigênio após 10 dias é aproximadamente por dia. Isso significa que a fração de oxigênio está diminuindo nessa ocasião.

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