Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função . Isso envolve o estudo de derivadas em cálculo diferencial, especialmente a regra da cadeia, que vai nos ajudar a resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a derivada do logaritmo natural. Se temos uma função , a derivada é dada por:
Aqui, é uma função de . No nosso caso, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de , que é . Para isso, derivamos cada termo de :
  • A derivada de é (usamos a regra do poder: trocar o expoente por coeficiente e diminuir o expoente em 1).
  • A derivada de é (a derivada de é 1, então multiplicamos pelo coeficiente).
  • A derivada de é (a derivada de uma constante é zero).
Então,

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia que mencionamos no Passo 2, substituímos e na fórmula da derivada:

Resposta

A derivada de é:

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, onde .
Observação: compare o resultado do item (n) com a derivada de