Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
f(x) = raiz(1 + e^x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função . Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, mais especificamente com regras de derivação para funções compostas e exponenciais. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de um jeito que facilite a derivação. Sabemos que a raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de . Então, temos:

Passo 3

Agora, para derivar essa função, vamos aplicar a regra da cadeia. Essa regra é usada quando temos uma função dentro de outra função. A regra da cadeia diz que a derivada de é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia à nossa função, ficamos com:
Agora, vamos derivar . A derivada de é e a derivada de é . Então:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada, temos:
Podemos simplificar essa expressão para uma forma mais elegante:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados