A demanda de um certo produto é D(p) = 3000 * e^(-0,01 * p) unidades por mês quando o preço é p reais por unidade.
Para que preço a taxa de variação da despesa dos consumidores começa a aumentar? Interprete esse resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre demanda de um produto, que depende do preço. A matéria envolve Cálculo, mais especificamente Derivadas, para entender como a despesa dos consumidores muda conforme o preço varia. A gente vai precisar calcular a derivada da função de despesa em relação ao preço e descobrir quando essa taxa de variação começa a aumentar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a despesa dos consumidores. A despesa total é o preço vezes a quantidade demandada :
Dado que , substituímos na fórmula:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar como essa despesa está mudando conforme o preço muda. Para isso, calculamos a primeira derivada de em relação a , que nos dá a taxa de variação da despesa:
Vamos usar a regra do produto para derivar:

Passo 4

Para encontrar quando a taxa de variação da despesa começa a aumentar, precisamos calcular a segunda derivada . Isso nos dirá como está mudando com relação a :
Aplicando a regra do produto novamente:

Passo 5

Para encontrar o ponto onde a taxa de variação começa a aumentar, igualamos a segunda derivada a zero:
Como nunca é zero, temos:

Resposta

O preço em que a taxa de variação da despesa dos consumidores começa a aumentar é R$ 200. Isso significa que, a partir desse valor, qualquer aumento no preço fará com que a despesa total dos consumidores comece a crescer mais rapidamente.

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