A demanda de um certo produto é
unidades por mês quando o preço é
reais por unidade.
Para que preço a taxa de variação da despesa dos consumidores começa a aumentar? Interprete esse resultado.
Para que preço a taxa de variação da despesa dos consumidores começa a aumentar? Interprete esse resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre demanda de um produto, que depende do preço. A matéria envolve Cálculo, mais especificamente Derivadas, para entender como a despesa dos consumidores muda conforme o preço varia. A gente vai precisar calcular a derivada da função de despesa em relação ao preço e descobrir quando essa taxa de variação começa a aumentar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a despesa dos consumidores. A despesa total
é o preço
vezes a quantidade demandada
:
Dado que
, substituímos na fórmula:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar como essa despesa está mudando conforme o preço muda. Para isso, calculamos a primeira derivada de
em relação a
, que nos dá a taxa de variação da despesa:
Vamos usar a regra do produto para derivar:
Passo 4
Para encontrar quando a taxa de variação da despesa começa a aumentar, precisamos calcular a segunda derivada
. Isso nos dirá como
está mudando com relação a
:
Aplicando a regra do produto novamente:
Passo 5
Para encontrar o ponto onde a taxa de variação começa a aumentar, igualamos a segunda derivada a zero:
Como
nunca é zero, temos:
Resposta
O preço em que a taxa de variação da despesa dos consumidores começa a aumentar é R$ 200. Isso significa que, a partir desse valor, qualquer aumento no preço fará com que a despesa total dos consumidores comece a crescer mais rapidamente.
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Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
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