Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções e determinem, caso existam, os pontos onde as derivadas se anulam.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função e descobrir se existem pontos onde essa derivada é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente a Regra do Produto para derivadas, já que temos o produto de duas funções: e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada: é a taxa de variação de uma função em relação a uma variável. No nosso caso, queremos saber como muda quando varia.
Como é o produto de duas funções, e , vamos aplicar a Regra do Produto. Essa regra diz que a derivada de é igual a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :
  • Derivada de :
    Aqui usamos a regra básica de derivação de potências, onde a derivada de é .
  • Derivada de :
    A derivada de é , então, no caso, .

Passo 4

Agora, aplicando a Regra do Produto:
Simplificando, temos:

Passo 5

Podemos fatorar para simplificar ainda mais:
Então, a derivada fica:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é igual a zero:
Sabemos que nunca é zero para nenhum valor real de , então:
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

A derivada de é e ela se anula nos pontos e .

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