Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções e determinem, caso existam, os pontos onde as derivadas se anulam.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função
e descobrir se existem pontos onde essa derivada é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente a Regra do Produto para derivadas, já que temos o produto de duas funções:
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada: é a taxa de variação de uma função em relação a uma variável. No nosso caso, queremos saber como
muda quando
varia.
Como
é o produto de duas funções,
e
, vamos aplicar a Regra do Produto. Essa regra diz que a derivada de
é igual a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
-
Derivada de
: Aqui usamos a regra básica de derivação de potências, onde a derivada deé . -
Derivada de
: A derivada deé , então, no caso, .
Passo 4
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Simplificando, temos:
Passo 5
Podemos fatorar
para simplificar ainda mais:
Então, a derivada fica:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é igual a zero:
Sabemos que
nunca é zero para nenhum valor real de
, então:
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
A derivada de
é
e ela se anula nos pontos
e
.
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