Calcule as derivadas das seguintes funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função . Aqui, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas de funções exponenciais e logaritmos. Precisamos lembrar das regras de derivação, como a regra da cadeia, e das propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão antes de derivar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o expoente . Sabemos que pode ser convertida para a base natural usando a fórmula:
Então, substituindo na expressão:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função com a simplificação:
Podemos reescrever a base 2 como , pois . Assim:

Passo 4

Simplificando o expoente:
Portanto, a função fica:

Passo 5

Vamos chamar para simplificar a escrita:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, vamos derivar . A derivada de é . Aplicando isso:

Resposta

A derivada da função é:

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro <br> Instituto de Matemática e Estatística <br> Professor: Mariana Martins

Lista 4 de Cálculo I (IME01-04827) - 2024.1 <br> Derivadas de funções <br> trigonométricas, regra da cadeia, derivação implícita