Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções e determinem, caso existam, os pontos onde as derivadas se anulam.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função
e encontrar os pontos onde essa derivada é igual a zero. Vamos usar o conteúdo de derivadas de funções compostas e quociente. Precisaremos aplicar a regra do quociente e a regra da cadeia para encontrar a derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que
. Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra do quociente para derivar
, onde
e
. A regra do quociente diz que:
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas de
e
:
-
então (usando a derivada de ) -
então
Passo 5
Substituindo
,
,
e
na fórmula da regra do quociente:
Passo 6
Simplificando essa expressão:
Passo 7
Para encontrar os pontos onde a derivada se anula, igualamos
a zero:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Passo 8
Resolvendo
:
Resposta
A derivada da função é
e ela se anula no ponto
.
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