Considere a função
: Determine as assintotas horizontais e as assintotas verticais de
, caso existam.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função
. Isso está relacionado ao estudo dos limites de funções, que é um tópico importante em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando
vai para mais ou menos infinito e verificar se existem pontos onde a função “explode” (tende ao infinito) de alguma forma.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas ocorrem em pontos onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador de uma fração é zero. Mas olha só a nossa função
. Não tem nenhum denominador aqui, e a função exponencial
está bem definida para todo valor de
. Então, não há assíntotas verticais para essa função.
Passo 3
Agora, vamos para as assíntotas horizontais. Essas aparecem quando a função se aproxima de um valor fixo conforme
vai para
ou
. Para descobrir isso, vamos calcular os limites da função nesses extremos.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o limite quando
tende a
:
A função exponencial
decresce muito rápido para zero à medida que
aumenta. Mesmo multiplicando por
, que cresce, a exponencial domina e o produto tende a zero. Então:
Isso significa que existe uma assíntota horizontal em
quando
vai para
.
Passo 5
Agora, vamos verificar o limite quando
tende a
:
Aqui,
, que cresce muito rápido quando
vai para
. Já que
está tendendo a
e a exponencial está crescendo para
, o produto
tende a
. Portanto, não há assíntota horizontal nesse sentido.
Resposta
A função
possui uma assíntota horizontal em
e não possui assíntotas verticais.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções e determinem, caso existam, os pontos onde as derivadas se anulam.
Calcule as derivadas das seguintes funções.
Um fabricante quer construir uma lata em formato cilíndrico com
de volume. Determine os diâmetros.