Considere a função : Determine as assintotas horizontais e as assintotas verticais de , caso existam.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função . Isso está relacionado ao estudo dos limites de funções, que é um tópico importante em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando vai para mais ou menos infinito e verificar se existem pontos onde a função “explode” (tende ao infinito) de alguma forma.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas ocorrem em pontos onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador de uma fração é zero. Mas olha só a nossa função . Não tem nenhum denominador aqui, e a função exponencial está bem definida para todo valor de . Então, não há assíntotas verticais para essa função.

Passo 3

Agora, vamos para as assíntotas horizontais. Essas aparecem quando a função se aproxima de um valor fixo conforme vai para ou . Para descobrir isso, vamos calcular os limites da função nesses extremos.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o limite quando tende a :
A função exponencial decresce muito rápido para zero à medida que aumenta. Mesmo multiplicando por , que cresce, a exponencial domina e o produto tende a zero. Então:
Isso significa que existe uma assíntota horizontal em quando vai para .

Passo 5

Agora, vamos verificar o limite quando tende a :
Aqui, , que cresce muito rápido quando vai para . Já que está tendendo a e a exponencial está crescendo para , o produto tende a . Portanto, não há assíntota horizontal nesse sentido.

Resposta

A função possui uma assíntota horizontal em e não possui assíntotas verticais.

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