Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada de uma curva vetorial dada por:
Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com a derivação de funções vetoriais. Para resolver isso, precisaremos aplicar a regra do quociente para o componente , a regra da cadeia para o componente e lembrar que a derivada de uma constante é zero para o componente .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar o componente da direção :
Para derivar essa função, usaremos a regra do quociente, que diz que se temos uma função na forma , sua derivada é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular e :
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 4

Agora, vamos derivar o componente da direção :
Aqui, usamos a regra da cadeia, que é útil para derivar funções compostas. Se temos , então .

Passo 5

Identificamos que , então:
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 6

Por último, vamos derivar o componente da direção :
Como é uma constante, sua derivada é zero:

Resposta

A derivada da curva é:

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