(d) Encontre uma solução para o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial que diz que a derivada de
em relação a
é igual a
, ou seja:
Além disso, sabemos que no tempo
, o valor de
é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como separar as variáveis e integrar para encontrar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Isso significa que vamos organizar a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro. Começamos dividindo ambos os lados da equação por
:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
em relação a
é:
E a integral de
em relação a
é:
Então, após integrar, temos:
Passo 4
Vamos resolver para
. Primeiro, simplificamos a equação:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Agora precisamos encontrar o valor da constante
usando a condição inicial
. Substituímos
e
na equação:
Resolvendo para
:
Resposta
Portanto, a solução para o problema de valor inicial é: