(d) Encontre uma solução para o problema de valor inicial

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial que diz que a derivada de em relação a é igual a , ou seja:
Além disso, sabemos que no tempo , o valor de é . Para resolver isso, vamos precisar entender como separar as variáveis e integrar para encontrar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . Isso significa que vamos organizar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro. Começamos dividindo ambos os lados da equação por :

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de em relação a é:
E a integral de em relação a é:
Então, após integrar, temos:

Passo 4

Vamos resolver para . Primeiro, simplificamos a equação:
Agora, isolamos :

Passo 5

Agora precisamos encontrar o valor da constante usando a condição inicial . Substituímos e na equação:
Resolvendo para :

Resposta

Portanto, a solução para o problema de valor inicial é:

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