(d) Encontre uma solução para o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial que diz que a derivada de em relação a é igual a , ou seja:
Além disso, sabemos que no tempo , o valor de é . Para resolver isso, vamos precisar entender como separar as variáveis e integrar para encontrar a função .
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis e . Isso significa que vamos organizar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro. Começamos dividindo ambos os lados da equação por :
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de em relação a é:
E a integral de em relação a é:
Então, após integrar, temos:
Passo 4
Vamos resolver para . Primeiro, simplificamos a equação:
Agora, isolamos :
Passo 5
Agora precisamos encontrar o valor da constante usando a condição inicial . Substituímos e na equação:
Resolvendo para :
Resposta
Portanto, a solução para o problema de valor inicial é: