Nos exerécíos de 5 a 42 calcular a derivada.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente calcular a derivada da função
. Vamos usar a matéria de derivadas de funções compostas, especialmente as derivadas das funções trigonométricas e suas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que temos uma função composta aqui. A função arco cosseno (
) está dentro da função seno (
). Para derivar isso, vamos aplicar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções dentro de funções.
Passo 3
Lembre que a derivada da função
em relação a
é:
Aqui,
é a nossa função interna, que no caso é
.
Passo 4
Agora, vamos derivar a função interna
. A derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia, que diz que a derivada da função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna, temos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, substituindo de volta na derivada:
Passo 7
Sabemos que
, então:
Isso simplifica para:
onde
é a função sinal, que indica se
é positivo ou negativo.
Resposta
A derivada de
é:
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