Nos exerécíos de 5 a 42 calcular a derivada.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente calcular a derivada da função . Vamos usar a matéria de derivadas de funções compostas, especialmente as derivadas das funções trigonométricas e suas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que temos uma função composta aqui. A função arco cosseno ( ) está dentro da função seno ( ). Para derivar isso, vamos aplicar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções dentro de funções.

Passo 3

Lembre que a derivada da função em relação a é:
Aqui, é a nossa função interna, que no caso é .

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interna . A derivada de em relação a é:

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, que diz que a derivada da função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna, temos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, substituindo de volta na derivada:

Passo 7

Sabemos que , então:
Isso simplifica para:
onde é a função sinal, que indica se é positivo ou negativo.

Resposta

A derivada de é:

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Calcule a derivada das curvas dadas a seguir: